計算幾何常用演算法
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摘要：計算機的出現使得很多原本十分繁瑣的工作得以大幅度簡化，但是也有一些在人們直**來很容易的問題卻需要拿出一套並不簡單的通用解決方案，比如幾何問題。作為電腦科學的乙個分支，計算幾何主要研究解決幾何問題的演算法。在現代工程和數學領域，計算幾何在圖形學、機械人技術、超大規模積體電路設計和統計等諸多領域有著十分重要的應用。在本文中，我們將對計算幾何常用的基本演算法做乙個全面的介紹，希望對您了解並應用計算幾何的知識解決問題起到幫助。
計算兩條共線的線段的交點：
對於兩條共線的線段，它們之間的位置關係有下圖所示的幾種情況。圖(a)中兩條線段沒有交點；圖 (b) 和 (d) 中兩條線段有無窮焦點；圖 (c) 中兩條線段有乙個交點。設line1是兩條線段中較長的一條，line2是較短的一條，如果line1包含了line2的兩個端點，則是圖(d)的情況，兩線段有無窮交點；如果line1只包含line2的乙個端點，那麼如果line1的某個端點等於被line1包含的line2的那個端點，則是圖(c) 的情況，這時兩線段只有乙個交點，否則就是圖(b)的情況，兩線段也是有無窮的交點；如果line1不包含line2的任何端點，則是圖(a)的情況，這時兩線段沒有交點。
計算線段或直線與線段的交點:
設一條線段為l0 = p1p2，另一條線段或直線為l1 = q1q2 ，要計算的就是l0和l1的交點。 1． 首先判斷l0和l1是否相交（方法已在前文討論過），如果不相交則沒有交點，否則說明l0和l1一定有交點，下面就將l0和l1都看作直線來考慮。
2． 如果p1和p2橫座標相同，即l0平行於y軸
a) 若l1也平行於y軸，
i. 若p1的縱座標和q1的縱座標相同，說明l0和l1共線，假如l1是直線的話他們有無窮的交點，假如l1是線段的話可用"計算兩條共線線段的交點"的演算法求他們的交點（該方法在前文已討論過）； ii. 否則說明l0和l1平行，他們沒有交點；
b) 若l1不平行於y軸，則交點橫座標為p1的橫座標，代入到l1的直線方程中可以計算出交點縱座標；
3． 如果p1和p2橫座標不同，但是q1和q2橫座標相同，即l1平行於y軸，則交點橫座標為q1的橫座標，代入到l0的直線方程中可以計算出交點縱座標；
4． 如果p1和p2縱座標相同，即l0平行於x軸
a) 若l1也平行於x軸，
i. 若p1的橫座標和q1的橫座標相同，說明l0和l1共線，假如l1是直線的話他們有無窮的交點，假如l1是線段的話可用"計算兩條共線線段的交點"的演算法求他們的交點（該方法在前文已討論過）； ii. 否則說明l0和l1平行，他們沒有交點；
b) 若l1不平行於x軸，則交點縱座標為p1的縱座標，代入到l1的直線方程中可以計算出交點橫座標；
5． 如果p1和p2縱座標不同，但是q1和q2縱座標相同，即l1平行於x軸，則交點縱座標為q1的縱座標，代入到l0的直線方程中可以計算出交點橫座標；
6． 剩下的情況就是l1和l0的斜率均存在且不為0的情況
a) 計算出l0的斜率k0，l1的斜率k1 ；
b) 如果k1 = k2
i. 如果q1在l0上，則說明l0和l1共線，假如l1是直線的話有無窮交點，假如l1是線段的話可用"計算兩條共線線段的交點"的演算法求他們的交點（該方法在前文已討論過）； ii. 如果q1不在l0上，則說明l0和l1平行，他們沒有交點。 c) 聯立兩直線的方程組可以解出交點來這個演算法並不複雜，但是要分情況討論清楚，尤其是當兩條線段共線的情況需要單獨考慮，所以在前文將求兩條共線線段的演算法單獨寫出來。另外，一開始就先利用向量叉乘判斷線段與線段（或直線）是否相交，如果結果是相交，那麼在後面就可以將線段全部看作直線來考慮。需要注意的是，我們可以將直線或線段方程改寫為 ax+by+c=0的形式，這樣一來上述過程的部分步驟可以合併，縮短了**長度，但是由於先要求出引數，這種演算法將花費更多的時間。
求線段或直線與折線、矩形、多邊形的交點：
分別求與每條邊的交點即可。
求線段或直線與圓的交點:
設圓心為o，圓半徑為r，直線（或線段）l上的兩點為p1,p2。
1. 如果l是線段且p1，p2都包含在圓o內，則沒有交點；否則進行下一步。
2. 如果l平行於y軸，
a) 計算圓心到l的距離dis； b) 如果dis > r 則l和圓沒有交點； c) 利用勾股定理，可以求出兩交點座標，但要注意考慮l和圓的相切情況。 3. 如果l平行於x軸，做法與l平行於y軸的情況類似；
4. 如果l既不平行x軸也不平行y軸，可以求出l的斜率k，然後列出l的點斜式方程，和圓方程聯立即可求解出l和圓的兩個交點；
5. 如果l是線段，對於2，3，4中求出的交點還要分別判斷是否屬於該線段的範圍內。
凸包的概念：
點集q的凸包(convex hull)是指乙個最小凸多邊形，滿足q中的點或者在多邊形邊上或者在其內。下圖中由紅色線段表示的多邊形就是點集q=的凸包。
凸包的求法：
現在已經證明了凸包演算法的時間複雜度下界是o(n*logn),但是當凸包的頂點數h也被考慮進去的話，krikpatrick和seidel的剪枝搜尋演算法可以達到o(n*logh)，在漸進意義下達到最優。最常用的凸包演算法是graham掃瞄法和jarvis步進法。本文只簡單介紹一下graham掃瞄法，其正確性的證明和jarvis步進法的過程大家可以參考《演算法導論》。
對於乙個有三個或以上點的點集q，graham掃瞄法的過程如下：
令p0為q中y-x座標排序下最小的點設為對其餘點按以p0為中心的極角逆時針排序所得的點集（如果有多個點有相同的極角，除了距p0最遠的點外全部移除 壓p0進棧s 壓p1進棧s 壓p2進棧s for i ← 3 to m do while 由s的棧頂元素的下乙個元素、s的棧頂元素以及pi構成的折線段不拐向左側 對s彈棧 壓pi進棧s return s;
此過程執行後，棧s由底至頂的元素就是q的凸包頂點按逆時針排列的點序列。需要注意的是，我們對點按極角逆時針排序時，並不需要真正求出極角，只需要求出任意兩點的次序就可以了。而這個步驟可以用前述的向量叉積性質實現。
四、結語
儘管人類對幾何學的研究從古代起便沒有中斷過，但是具體到借助計算機來解決幾何問題的研究，還只是停留在乙個初級階段，無論從應用領域還是發展前景來看，計算幾何學都值得我們認真學習、加以運用，希望這篇文章能帶你走進這個豐富多彩的世界。
C 根據兩條線段 計算該兩條直線的交點
也可以理解為 三角形乙個頂點 連線 內部某乙個點，延長後和另一條邊的交點。計算兩條直線的交點 l1的點1座標 l1的點2座標 l2的點1座標 l2的點2座標 public static xyz getintersection xyz linefirststar,xyz linefirstend,xy...
求兩條直線（線段）的交點
如圖，如何求得直線 ab 與直線 cd的交點p？以上內容摘自 演算法藝術與資訊學競賽 思路就是利用叉積求得點p分線段dc的比，然後利用高中學習的定比分點座標公式求得分點p的座標。看不懂的可以去複習下 定比分點 的知識。include include include include using nam...
計算幾何之求兩條線段的交點
這個圖是從知乎上儲存下來的 其實主要是利用了三角形的相似 如下 兩點式直線公式 x x1 x2 x1 y y1 y2 y1 x y2 y1 y x1 x2 x1 y1 y2 y1 x2 x1 0 a y2 y1,b x1 x2,c x1 y1 y2 y1 x2 x1 x,y d2 d1 d2 x3,...