npc問題的定義非常簡單。同時滿足下面兩個條件的問題就是npc問題。首先，它得是乙個np問題；然後，所有的np問題都可以約化到它。證明乙個問題是 npc問題也很簡單。先證明它至少是乙個np問題，再證明其中乙個已知的npc問題能約化到它（由約化的傳遞性，則npc問題定義的第二條也得以滿足；至於第乙個npc問題是怎麼來的，下文將介紹），這樣就可以說它是npc問題了。
既然所有的np問題都能約化成npc問題，那麼只要任意乙個npc問題找到了乙個多項式的演算法，那麼所有的np問題都能用這個演算法解決了，np也就等於p 了。因此，給npc找乙個多項式演算法太不可思議了。因此，前文才說，「正是npc問題的存在，使人們相信p≠np」。我們可以就此直觀地理解，npc問題目前沒有多項式的有效演算法，只能用指數級甚至階乘級複雜度的搜尋。
順便講一下np-hard問題。np-hard問題是這樣一種問題，它滿足npc問題定義的第二條但不一定要滿足第一條（就是說，np-hard問題要比 npc問題的範圍廣）。np-hard問題同樣難以找到多項式的演算法，但它不列入我們的研究範圍，因為它不一定是np問題。即使npc問題發現了多項式級的演算法，np-hard問題有可能仍然無法得到多項式級的演算法。事實上，由於np-hard放寬了限定條件，它將有可能比所有的npc問題的時間複雜度更高從而更難以解決。
不要以為npc問題是一紙空談。npc問題是存在的。確實有這麼乙個非常具體的問題屬於npc問題。下文即將介紹它。
下文即將介紹邏輯電路問題。這是第乙個npc問題。其它的npc問題都是由這個問題約化而來的。因此，邏輯電路問題是npc類問題的「鼻祖」。
邏輯電路問題是指的這樣乙個問題：給定乙個邏輯電路，問是否存在一種輸入使輸出為true。
什麼叫做邏輯電路呢？乙個邏輯電路由若干個輸入，乙個輸出，若干「邏輯門」和密密麻麻的線組成。看下面一例，不需要解釋你馬上就明白了。
┌───┐
│ 輸入1├─→┐ ┌──┐
└───┘ └─→┤ │
│ or ├→─┐
┌───┐ ┌─→┤ │ │ ┌──┐
│ 輸入2├─→┤ └──┘ └─→┤ │
└───┘ │ ┌─→┤and ├──→輸出
└────────┘┌→┤ │
┌───┐ ┌──┐ │ └──┘
│ 輸入3├─→┤ not├─→────┘
└───┘ └──┘
這是個較簡單的邏輯電路，當輸入1、輸入2、輸入3分別為true、true、false或false、true、false時，輸出為true。
有輸出無論如何都不可能為true的邏輯電路嗎？有。下面就是乙個簡單的例子。
┌───┐
│輸入1 ├→─┐ ┌──┐
└───┘ └─→┤ │
│and ├─→┐
┌─→┤ │ │
│ └──┘ │ ┌──┐
│ └→┤ │
┌───┐ │ │and ├─→輸出
│輸入2 ├→─┤ ┌──┐ ┌→┤ │
└───┘ └→┤not ├→──┘ └──┘
└──┘
上面這個邏輯電路中，無論輸入是什麼，輸出都是false。我們就說，這個邏輯電路不存在使輸出為true的一組輸入。
回到上文，給定乙個邏輯電路，問是否存在一種輸入使輸出為true，這即邏輯電路問題。
邏輯電路問題屬於npc問題。這是有嚴格證明的。它顯然屬於np問題，並且可以直接證明所有的np問題都可以約化到它（不要以為np問題有無窮多個將給證明造成不可逾越的困難）。證明過程相當複雜，其大概意思是說任意乙個np問題的輸入和輸出都可以轉換成邏輯電路的輸入和輸出（想想計算機內部也不過是一些 0和1的運算），因此對於乙個np問題來說，問題轉化為了求出滿足結果為true的乙個輸入（即乙個可行解）。
有了第乙個npc問題後，一大堆npc問題就出現了，因為再證明乙個新的npc問題只需要將乙個已知的npc問題約化到它就行了。後來，hamilton 迴路成了npc問題，tsp問題也成了npc問題。現在被證明是npc問題的有很多，任何乙個找到了多項式演算法的話所有的np問題都可以完美解決了。因此說，正是因為npc問題的存在，p=np變得難以置信。p=np問題還有許多有趣的東西，有待大家自己進一步的挖掘。攀登這個資訊學的巔峰是我們這一代的終極目標。現在我們需要做的，至少是不要把概念弄混淆了。
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