THUPC2017 I Sum（牛頓恒等式）

題意：

給定陣列a1.

..,a

na_1...,a_n

a1​...

,an​

，對於所有1≤i

≤k

1 \le i \le k

1≤i≤

k，求si=

∑jaj

is_i = \sum_a_j^i

si​=∑j

​aji

​。題解：這道題要用到乙個叫牛頓恒等式的玩意兒。

對於n

nn次多項式f=∑

i=0n

aixi

f=\sum_^na_ix^i

f=∑i=0

n​ai

​xi（注意是首一多項式），設其幾個根分別為x1,

x2,.

..,x

nx_1,x_2,...,x_n

x1​,x2

​,..

.,xn

​，設bi=

an−i

b_i =a_

bi​=an

−i​，那麼對於任意k

kk，有：

∑ j=

1nsi

bn−i

+kbn

=0

\sum_^n s_i b_+kb_n = 0

j=1∑n​

si​b

n−i​

+kbn

​=0這個東西在k≥n

k \ge n

k≥n的時候只需要把x

ix_i

xi​分別帶入f

ff然後相加即可得到，小於的時候可以用歸納法證明（當然我不會）。

然後分治fft+多項式求逆即可。 時間複雜度o(n

log⁡2n

+k

log⁡k)

o(n \log^2 n + k \log k)

o(nlog2n

+klogk)。

#include

using
namespace std;
const
int rlen=
1<<18|
1;inline
charnc(
)inline
intrd()
while
(isdigit
(ch)
)return i*f;
}inline
voidw(
int x)
if(x<0)
while
(x)while
(buf[0]
)putchar
(buf[buf[0]
--]+'0');
}const
int n=
2e6+
50, mod=
998244353
;inline
intadd
(int x,
int y)
inline
intdec
(int x,
int y)
inline
intmul
(int x,
int y)
inline
intpower
(int a,
int b,
int rs=1)
namespace fft 
inline
void
dft(
int*a)}}
inline
void
opt()}
struct poly 
inline
intdeg()
const
inline
int&
operator
(int x)
inline
const
int&
operator
(int x)
const
inline poly extend
(int len)
inline poly rev()
friend
inline poly operator*(
const poly &a,
const poly &b)
inline poly mul
(int b)
friend
inline poly operator-(
const poly &a,
const poly &b)
inline poly calc_inv
(poly f,
int len)
poly f0=
calc_inv
(f.extend
(len/2-
1),len/2)
;return
(f0.
mul(2)
-(f*f0)
.extend
(len-1)
*f0)
.extend
(len-1)
;}inline poly calc_inverse
(int len)};
int n,k;
inline poly solve
(int l,
int r)
int mid=
(l+r)
>>1;
return
solve
(l,mid)
*solve
(mid+
1,r);}
intmain()

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