0.4 演算法的正確性
解決乙個計算問題的演算法是正確的，指的是對問題中任意合法的輸入均應得到對應的正確輸出。大多數情況下，問題的合法輸入無法窮盡，當然就無法窮盡輸出是否正確的驗證。即使合法輸入是有限的，窮盡所有輸出正確的驗證，在實踐中也許是得不償失的。但是，無論如何，我們需要保證設計出來的演算法的正確性。否則，演算法設計就是去了它的應用意義。因此，對設計出來的演算法在提交應用之前，應當說明它的正確性。這就需要借助我們對問題的認識與理解，利用數學、科學及邏輯推理來證實演算法是正確的。例如，對於解決「計算逆序數」問題的演算法0-1，其正確性可以表述為如下命題：
當第3～7行的for迴圈結束時，count已記錄下了序列a[1..n]中的逆序數。
如果我們能說明上述命題是真的，那就說明了演算法0-1是正確的。由於陣列a[1..n]的長度n是任意正整數，所以這是乙個與正整數相關的命題。數學中要證明乙個與正整數相關的命題有乙個有力的工具——數學歸納法。下面我們對本命題中的n進行歸納。
當n=1時第3～7行的for迴圈重複0次。count保持初始值0，這與a[1..n]=a[1]沒有任何逆序相符，結論顯然為真。
設n>1且可用演算法計算出a[1..n−1]的逆序數count。在此假設下，我們來證明對a[1..n]利用演算法0-1也能得到正確的逆序數count。
考慮演算法中第3～7行的for迴圈在j=n時的第一次重複的操作：第4～6行內嵌的for迴圈從i=1開始到j−1為止，逐一檢測是否a[i]>a[j]。若是，意味著找到乙個關於a[n]的逆序，第6行count自增1。當此迴圈結束時count中累積了關於a[n]的逆序數。由於n>1，故第3～6行的外圍for迴圈必定會繼續對a[1..n−1]做同樣的操作。根據歸納假設，我們知道第3～6行的for迴圈接下來的重複操作能將a[1..n−1]中個元素的逆序數累加到count中。所以第3～6行for迴圈結束時，count已記錄下了序列a[1..n]中的逆序數。
這樣，我們就從邏輯上證明了演算法0-1能正確地解決「計算逆序數」問題的乙個案例，即演算法0-1是正確的。
應當指出，解決乙個計算問題時，演算法不必唯一。資料的組織方式、解題思路的不同，會導致不同的演算法。
例如，將計數器count設定為全域性變數，並初始化為0。解決「計算逆序數」問題乙個案例的演算法還可以表示為如下的形式。
get-the-inversion(a, n) ▷a[1..n]表示乙個序列
1 if n<2
2 then return
3 for i←1 to n-1
4 do if a[i]>a[n] ▷檢測到乙個逆序
5 then count←count+1 ▷累加到計數器
6 get-the-inversion(a, n-1)
這是乙個「遞迴」演算法，它在定義的內部（第6行）進行了一次自我呼叫。受上述演算法0-1正確性命題證明的啟發，這個演算法的思想是基於先計算出a[1..n-1]中關於a[n]的逆序數count，然後將問題歸結為計算a[1..n-1]的逆序數的子問題。用相同的方法解決子問題（遞迴呼叫自身，注意表示a的長度的第2個引數變成n-1）把子問題的解與count合併就可得到原問題的解。其實，演算法0-2與演算法0-1僅僅是表達形式不同，本質上等價的：後者用末尾遞迴（第6行遞迴呼叫自身）隱式地替代演算法0-1中第3～6行的外層for迴圈。所以，演算法0-2也是正確的。
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