什麼是賦範線性空間、內積空間，度量空間，希爾伯特空間 ？ 現代數學的乙個特點就是以集合為研究物件，這樣的好處就是可以將很多不同問題的本質抽象出來，變成同乙個問題，當然這樣的壞處就是描述起來比較抽象，很多人就難以理解了。
既然是研究集合，每個人感興趣的角度不同，研究的方向也就不同。為了能有效地研究集合，必須給集合賦予一些「結構」（從一些具體問題抽象出來的結構）。
從數學的本質來看，最基本的集合有兩類：線性空間（有線性結構的集合）、度量空間（有度量結構的集合）。
對線性空間而言，主要研究集合的描述，直觀地說就是如何清楚地告訴地別人這個集合是什麼樣子。為了描述清楚，就引入了基（相當於三維空間中的座標系）的概念，所以對於乙個線性空間來說，只要知道其基即可，集合中的元素只要知道其在給定基下的座標即可。
因為有度量，所以可以在度量空間、賦範線性空間以及內積空間中引入極限，但抽象空間中的極限與實數上的極限有乙個很大的不同就是，極限點可能不在原來給定的集合中，所以又引入了完備的概念，完備的內積空間就稱為hilbert空間。
這幾個空間之間的關係是：
線性空間與度量空間是兩個不同的概念，沒有交集。
賦範線性空間就是賦予了範數的線性空間，也是度量空間（具有線性結構的度量空間）；
內積空間是賦範線性空間加上角度的概念；
希爾伯特空間就是完備的內積空間。
希爾伯特空間
歐幾里得空間 希爾伯特空間，巴拿赫空間或者是拓撲空間都屬於函式空間。函式空間 元素 規則 即乙個函式空間由元素 與元素所滿足的規則 定義，而要明白這些函式空間的定義首先得從距離，範數，內積，完備性等基本概念說起。定義了範數，是絕對值 形式 a b 的延伸，是對向量 函式和矩陣定義的一種距離度量形式，...
希爾伯特空間
上海交通大學公開課 數學之旅 總結 距離 範數 內積 線性空間 範數 賦範空間 線性結構 內積 內積空間 完備性 希爾伯特空間 線性空間 又稱為向量空間，關注的是向量的位置。知道基便可確定空間中元素的位置。線性空間定義了加法和數乘運算。如果我們想要知道向量的長度怎麼辦。定義範數，引入賦範線性空間。賦...
再生核希爾伯特空間1 希爾伯特空間
再生核希爾伯特空間首先一定是希爾伯特空間，所以先介紹希爾伯特 hilbert 空間 設 e 非空集合，h 為定義在e 上的線性空間 h h c h,h h,h 1 2h 若h是完備的，則按照上述定義的h 是hilbert 空間.設h為有限維復函式空間，基 f 1,f2 f n 則 f h可以寫做f1...