定義
對於任意數列a0,a1,a2...an 即用如下方法與乙個函式聯絡起來：
則稱g(x)是數列的生成函式(generating function)。
例子比較典型的是：
因為生成函式的x沒有實際意義，我們可以任意取值。
（以下k為非負整數）
二項式定理：
k為任意實數，即定理可擴充套件 ： (1+x)^(-k) = 1 + 2x + 3x^2 + 4*x^3 + ...
證明：引理 ： c(n,m) （從n裡取m個數）當n<0， c(n,m) =(-1)^m * c(-n+m-1 ,m)（數學歸納法）
(1+x)^(-k) = (-x)^0 * c(-k,0) + (-x)^1 * c(-k,1) + (-x)^2 * c(-k,2) + .. + (-x)^k * c(-k,k)
c(-k,0) = 1 *c(k-1,0)
c(-k,1) = -1 * c(k,1)
發現負負抵消 ， 即證。
例題：n=x1+x2+x3+...+xk有多少個非負整數解？
分析：這道題是學排列與組合的經典例題了。把每組解的每個數都加1，就變成n+k=x1+x2+x3+...+xk的正整數解的個數了。教材上或許會出現這麼乙個難聽的名字叫「隔板法」：把n+k個東西排成一排，在n+k-1個空格中插入k-1個「隔板」。答案我們總是知道的，
就是c(n+k-1,k-1)。它就等於c(n+k-1,n)。它關於n的生成函式是g(x)=1/(1-x)^k。這個生成函式是怎麼來的呢？
其實，它就是(1-x)的-k次方。把(1-x)^(-k)按照剛才的牛頓
二項式展開，我們就得到了x^n的係數恰好是c(n+k-1,n)，因為c(-k,n)*(-x)^n=[(-1)^n*c(n+k-1,n)]*[(-1)^n*x^n]=c(n+k-1,n)x^n。
例題2:
求斐波拉契數列的通項公式。
f(i) = f(i-1) + f(i-2)
根據遞推式，我們可以這樣變化，顯然有
然後自己腦補 。
自己看。
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