佩爾方程例項講解

佩爾方程是一種不定二次方程。

下面的不定方程稱為佩爾（pell）方程：

x^2-d*y^2= 1 ........①

其中 d 為正整數，若 d 是完全平方數，則這個方程式只有平凡解(1,-1,0)。若 d 是非平方數。佩爾方程存在無窮多個解。

若佩爾方程的最小特解（最小正整數解）是（x1,y1），那麼可有迭代公式：

除了上述常見的佩爾方程，還有一種形式。下面的不定方程稱為第ii型佩爾（pell）方程：

x^2-d*y^2= -1 ........②

如果②有正整數解，設(a,b)是②的正整數解中使 x+y√d 最小的解（稱(a,b)為②的基本解），則②的全部正整數解可以表示為：

x+y√d=(a+b√d)^(2n+1) （n為任意正整數）

而且記x0+y0√d=(a+b√d)^2，則(x0,y0)為①的基本解。

關於公式②的通解，可以前往閱讀數論筆記 · 佩爾方程，該文章對此進行了詳細講解。這裡我們就直接拿來使用。

如上圖所示，當 k 為 -1 時，即和公式②一致，此時 p,q 為公式②的解，(r,s)為公式①的基本解。將公式①和公式②進行相乘，最終得到(x,y)的通解。假設 d 為 2，公式①的基本解為(3,2)，則(x,y) = (3p±4q,2p±3q)。

案例一

記得有一次全班去唱k, 其中有個活動是情歌對唱. 具體操作流程是這樣的:
準備好 21 個鬮(我們班 15 男 6 女), 其中只有兩個是有標記的, 每人隨意抓取乙個, 最後取到有標記的鬮的兩個人去點首情歌對唱.
旁邊一哥們兒幽幽地對我說, 看來攪基真是神的安排啊, 你看我們班的男女人數, 攪基的機率 c(15,2)/c(21,2) 剛好是 1/2.
給跪了, 這哥們兒對數字太敏感了, 簡直是拉馬努金轉世啊. 不過我隨之想到乙個問題: (21, 15) 真的是神的唯一安排嗎? 其實不是的,
神還有很多類似的安排. 比如 (4, 3), 顯然 c(4,2)/c(3,2) 也等於 1/2, 當然還有 (120, 85) 等等等等.
神的安排太多太多了, 如果我們定義 (n, m) 是乙個安排(其中 1 < m < n), 而如果 c(m,2)/c(n,2) = 1/2, 它就是神的安排.
現在的問題是, 給你乙個不大於 10^9 的正整數 n, 有多少組神的安排 (n, m) 滿足 n <= n 呢?

分析：

根據題意列出方程2*m^2-2*m=n^2-n，轉換為佩爾方程形式：(2*n-1)^2-2*(2*m-1)^2=-1。

記 x = 2n-1，y=2m-1，原方程即為：x^2-2*y^2=-1。為了求解該方程的通解，需要先計算x^2-2*y^2=1的基本解，顯然(3,2)為基本解，套用上述得到的通解公式，可以得到 xn,yn 的迭代公式：

x(n+1) = 3xn±4yn
y(n+1) = 2xn±3yn
#由於題目解要求為正整數且 x(n+1) 大於 xn，（1，1）為方程基本解，因此選擇乘積相加，而非相減。
x(n+1) = 3xn+4yn
y(n+1) = 2xn+3yn

**實現：

n = 54
def cal_probability2():
global n
x = 1
y = 1
n = 0
xy_list = 
while (x + 1) / 2 <= n:
a = x
b = y
if x>y:
n += 1
x = 3 * a + 4 * b
y = 2 * a + 3 * b
print(n)
print(xy_list)

輸出結果為：

2
[(4, 3), (21, 15)]

案例二

數1,3,6,10,....構成數列，數1,4,9,16,....構成數列。將既是數列中的項，又是數列中的項按照從小到大的順序構成新的數列，試寫出數列的前4項。

分析：

數列的通項公式是 a_n = n(n+1)/2，數列的通項公式是 b_n = n^2。要找出兩個數列中的公共項，可以讓兩個通項公式相等。此時，令 a_n = b_m，即 n(n+1)/2 = m**2，因為不確定 m 和 n 是否完全相同，因此分開來區別表示。

由 n(n+1)/2 = m**2 可得（2n+1)**2-8*m^2 = 1，令 x = 2n+1，y = m，則方程變為：x^2 - 8*y^2 = 1，其中（3，1）為該方程的基本解。

**實現：

n = 4
n = 1
a = 3 #方程最小解(x1,y1)
b = 1
nm_list = 
while n<=4:
x = a
y = b
a = 3*x+8*y
b = x+y*3
n += 1
print(nm_list)
result = 
for w in nm_list:
b_n = w[1]**2
print(result)

輸出結果為：

[(1, 1), (8, 6), (49, 35), (288, 204)]
[1, 36, 1225, 41616]

後續會繼續更新相關知識點。

佩爾方程例項講解

深入淺出學演算法008 求佩爾方程的解

貝塞爾例項

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