Python 遞迴演算法指歸

遞迴（ recursion）是一種程式設計技巧，某些情況下，甚至是無可替代的技巧。遞迴可以大幅簡化**，看起來非常簡潔，但遞迴設計卻非常抽象，不容易掌握。通常，我們都是自上而下的思考問題，遞迴則是自下而上的解決問題——這就是遞迴看起來不夠直觀的原因。那麼，究竟什麼是遞迴呢？讓我們先從生活中找乙個栗子。

我們都有在黑暗的放映廳裡找座位的經驗：問問前排的朋友坐的是第幾排，加上一，就是自己當前所處位置的排號。如果前排的朋友不知道自己是第幾排，他可以用同樣的方法得到自己的排號，然後再告訴你。如果前排的前排的朋友也不知道自己是第幾排，他就如法炮製。這樣的推導，不會無限制地進行下去，因為問到第一排的時候，坐在第一排的朋友一定會直接給出答案的。這就是遞迴演算法在生活中的應用例項。

關於遞迴，不太嚴謹的定義是「乙個函式在執行時直接或間接地呼叫了自身」。嚴謹一點的話，乙個遞迴函式必須滿足下面兩個條件：

至少有乙個明確的遞迴結束條件，我們稱之為遞迴出口，也有人喜歡把該條件叫做遞迴基。

有向遞迴出口方向靠近的直接或間接的自身呼叫（也被稱作遞迴呼叫）。

遞迴雖然晦澀，亦有規律可循。掌握了基本的遞迴理論，才有可能將其應用於複雜的演算法設計中。

我們先從最經典的兩個遞迴演算法開始——階乘（factorial）和斐波那契數列（fibonacci sequence）。幾乎所有討論遞迴演算法的話題，都是從從它們開始的。階乘的概念比較簡單，唯一需要說明的是，0的階乘是1而非0。為此，我專門請教了我的女兒，她是數學專業的學生。斐波那契數列，又稱**分割數列，指的是這樣乙個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在數學上，斐波納契數列是這樣定義的：

f(0)=1，f(1)=1, f(n)=f(n-1)+f(n-2)（n>=2，n∈n，n為正整數集）

階乘和斐波那契數列的遞迴演算法如下：

def
factorial
(n):
if n ==0:
# 遞迴出口
return
1return n*factorial(n-1)
# 向遞迴出口方向靠近的自身呼叫
deffibonacci
(n):
if n <2:
# 遞迴出口
return
1return fibonacci(n-1)
+ fibonacci(n-2)
# 向遞迴出口方向靠近的自身呼叫

這兩個函式的結構都非常簡單，遞迴出口和自身呼叫清晰明了，但二者有乙個顯著的區別：階乘函式中，只用一次自身呼叫，而斐波那契函式則有兩次自身呼叫。

階乘遞迴函式每一層的遞迴對自身的呼叫只有一次，因此每一層次上至多只有乙個例項，且它們構成乙個線性的次序關係。此類遞迴模式稱作「線性遞迴」，這是遞迴最基本形式。非線性遞迴（比如斐波那契遞迴函式）在每一層上都會產生兩個例項，時間複雜度為o(n

o(n^2)

o(n2

)，極易導致堆疊溢位。

其實，用迴圈的方法同樣可以簡潔地寫出上面兩個函式。的確，很多情況下，遞迴能夠解決的問題，迴圈也可以做到。但是，更多的情況下，迴圈是無法取代遞迴的。因此，深入研究遞迴理論是非常有必要的。

接下來，我們將上面的階乘遞迴函式改造一下，仍然用遞迴的方式實現。為了便於比較，我們把兩種演算法放在一起。

def
factorial_a
(n):
if n ==0:
# 遞迴出口
return
1return n*factorial_a(n-1)
# 向遞迴出口方向靠近的自身呼叫
deffactorial_b
(n, k=1)
:if n ==0:
# 遞迴出口
return k
k *= n
n -=
1return factorial_b(n,k)
# 向遞迴出口方向靠近的自身呼叫

比較 factorial_a() 和 factorial_b() 的寫法，就會發現很有意思的問題。factorial_a() 的自身呼叫屬於表示式的一部分，這意味著自身呼叫不是函式的最後一步，而是拿到自身呼叫的結果後，需要再做一次乘法運算；factorial_b() 的自身呼叫則是函式的最後一步。像 factorial_b() 函式這樣，當自身呼叫是整個函式體中最後執行的語句，且它的返回值不屬於表示式的一部分時，這個遞迴呼叫就是尾遞迴（tail recursion）。尾遞迴函式的特點是在回歸過程中不用做任何操作，這個特性很重要，因為大多數現代的編譯器會利用這種特點自動生成優化的**。

分別使用 factorial_a() 和 factorial_b() 計算5的階乘，下圖所示的計算過程，清晰展示了尾遞迴的優勢：不用花費大量的棧空間來儲存上次遞迴中的引數、區域性變數等，這是因為上次遞迴操作結束後，已經將之前的資料計算出來，傳遞給當前的遞迴函式，這樣上次遞迴中的區域性變數和引數等就會被刪除，釋放空間，從而不會造成棧溢位。

factorial_a(5)
5 * factorial_a(4)
5 * 4 * factorial_a(3)
5 * 4 * 3 * factorial_a(2)
5 * 4 * 3 * 2 * factorial_a(1)
5 * 4 * 3 * 2 * 1 * factorial_a(0)
5 * 4 * 3 * 2 * 1
5 * 4 * 3 * 2
5 * 4 * 6
5 * 24
120factorial_b(5, k=1)
factorial_b(4, k=5)
factorial_b(3, k=20)
factorial_b(2, k=60)
factorial_b(1, k=120)
factorial_b(0, k=120)
120

尾遞迴雖然有低耗高效的優勢，但這一類遞迴一般都可轉化為迴圈語句。

import os
defergodic
(folder)
:for root, dirs, files in os.walk(folder)
:for dir_name in dirs:
print
(os.path.join(root, dir_name)
)for file_name in files:
print
(os.path.join(root, file_name)
)

上面是借助於 os 模組的 walk() 實現的基於迴圈的檔案遍歷方法。雖然是迴圈結構，如果不熟悉 walk() 的話，這個函式看起來還是很不直觀。我更喜歡下面的遞迴遍歷方法。

import os
defergodic
(folder)
:for item in os.listdir(folder)
: obj = os.path.join(folder, item)
print
(obj)
if os.path.isdir(obj)
: ergodic(obj)

遍歷檔案通常有兩種策略：深度優先搜尋 dfs（depth-first search）和廣度優先搜尋bfs（breadth-first search）。顧名思義，深度優先就是優先處理本級資料夾中的子資料夾，遞迴向縱深發展；廣度優先就是優先處理本級資料夾中的檔案，遞迴向水平方向發展。

import os
defergodic_dfs
(folder)
:"""基於深度優先的檔案遍歷"""
dirs, files =
list()
,list()
for item in os.listdir(folder)
:if os.path.isdir(os.path.join(folder, item)):
else
:for dir_name in dirs:
ergodic(os.path.join(folder, dir_name)
)for file_name in files
print
(os.path.join(folder, file_name)
)def
ergodic_bfs
(folder)
:"""基於廣度優先的檔案遍歷"""
dirs, files =
list()
,list()
for item in os.listdir(folder)
:if os.path.isdir(os.path.join(folder, item)):
else
:for file_name in files
print
(os.path.join(folder, file_name)
)for dir_name in dirs:
ergodic(os.path.join(folder, dir_name)
)

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