點旋轉和座標系旋轉

2021-09-25 20:12:54 字數 1904 閱讀 7328

同一座標系下的點旋轉變換(如圖1所示)和不同座標系之間的旋轉變換(如圖2所示),一直困擾著我,它們是兩個不同的概念,但形式上有很相似,以二維空間為例做了下推導,加深理解。

同一座標系下的點旋轉變換,比較好理解,是在相同的座標系下做的旋轉變換。如圖3所示,已知逆時針的旋轉角度為θ,我們引入中間變數向量的長度r和水平夾角α,顯而易見地,推導公式如下:

\(x=r cos(\theta+\alpha)=rcos(\theta)cos(\alpha)-rsin(\theta)sin(\alpha)=x^cos(\theta)-x^sin(\theta)\)

\(y=r sin(\theta+\alpha)=rsin(\theta)cos(\alpha)+rcos(\theta)sin(\alpha)=x^sin(\theta)+x^cos(\theta)\) 

\(\begin

x\\

y\end=\begin

cos(\theta) & -sin(\theta) \\

sin(\theta) &cos(\theta) &

\end\begin

x^\\

y^\end\)

齊次座標系的表達為:

\(\begin

x\\

y\\1

\end=\begin

cos(\theta) & -sin(\theta) &0\\

sin(\theta) &cos(\theta) & 0 \\

0&0&1

\end\begin

x^\\

y^\\

1\end\)

不同座標系之間的旋轉變換,這是透視變換中常用到的,它的作用是將乙個點從乙個座標系統對映到另乙個座標系統下,這在將世界座標系統對映到相機座標系統中是很有用的。如圖4所示,已知座標系o'x'y'相對於oxy座標系逆時針的旋轉角度為θ,o'x'y'的座標原點o'相對於oxy的座標為(x0,y0),我們引入中間變數向量的長度r和水平夾角α。變換的思路是,先對o'x'y'座標系旋轉θ,然後在平移(x0,y0)。推導過程如下:

\(x=rcos(\theta+\alpha)+x_=rcos(\theta)cos(\alpha)-rsin(\theta)sin(\alpha)=x^cos(\theta)-x^sin(\theta)+x_\)

\(y=r sin(\theta+\alpha)+y_=rsin(\theta)cos(\alpha)+rcos(\theta)sin(\alpha)=x^sin(\theta)+x^cos(\theta)+y_\)

\(\begin

x\\

y\end=\begin

cos(\theta) & -sin(\theta) \\

sin(\theta) &cos(\theta) &

\end\begin

x^\\

y^\end+\begin

x^\\

y^\end\)

齊次座標系的表達為: 

\(\begin

x\\

y\end=\begin

cos(\theta) & -sin(\theta) &x^\\

sin(\theta) &cos(\theta) &y^\\

0&0 &1

\end\begin

x^\\

y^\\

1\end\)

注意齊次座標的作用是把旋轉縮放和平移結合起來,在傳統的歐幾里得空間中是做不到的,需要在投影空間中的齊次座標系統下完成。

同理可以擴充套件到三維空間。oxyz座標系統可以看作是相機座標系統,o'x'y'z'可以看做世界座標系統,

點旋轉和座標系旋轉

同一座標系下的點旋轉變換 如圖1所示 和不同座標系之間的旋轉變換 如圖2所示 一直困擾著我,它們是兩個不同的概念,但形式上有很相似,以二維空間為例做了下推導,加深理解。同一座標系下的點旋轉變換,比較好理解,是在相同的座標系下做的旋轉變換。如圖3所示,已知逆時針的旋轉角度為 我們引入中間變數向量的長度...

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