數值分析 python LU分解法

lu分解在本質上是高斯消元法的一種表達形式。實質上是將a通過初等行變換變成乙個上三角矩陣，其變換矩陣就是乙個單位下三角矩陣。這正是所謂的杜爾里特演算法（doolittle algorithm）：從下至上地對矩陣a做初等行變換，將對角線左下方的元素變成零，然後再證明這些行變換的效果等同於左乘一系列單位下三角矩陣，這一系列單位下三角矩陣的乘積的逆就是l矩陣，它也是乙個單位下三角矩陣。這類演算法的複雜度一般在(三分之二的n三次方) 左右。

import numpy as np
a =[[
2,2,
3],[
4,7,
7],[
-2,4
,5]]
b =[[
3],[
1],[
-7]]
unit_matrix=[[
1,0,
0],[
0,1,
0],[
0,0,
1]]#合併兩個矩陣
defaugmented_matrix
(x, y)
:return
[aa + bb for aa, bb in
zip(x, y)
]def
lu_decomposition()
: a_unit_matrix=augmented_matrix(a,unit_matrix)
print
(np.array(a_unit_matrix)
)# 交換主元
for j in
range
(len
(a_unit_matrix)):
if a_unit_matrix[j]
[j]==0:
for w in
range
(len
(a_unit_matrix)):
if a_unit_matrix[w]
[j]!=0:
l = a_unit_matrix[w]
a_unit_matrix[w]
= a_unit_matrix[j]
a_unit_matrix[j]
= l break
#化為上三角矩陣
j =0while j <
len(a_unit_matrix)
: line = a_unit_matrix[j]
lest_0 =
if j==0:
for x0 in line:
x = x0
else
:for x0 in line:
x = x0/a_unit_matrix[0]
[0] a_unit_matrix[j]
= lest_0
flag = j +
1while flag <
len(a_unit_matrix)
: lest_1=
temp1 = a_unit_matrix[flag]
[j]/a_unit_matrix[j]
[j] i =
0for x1 in a_unit_matrix[flag]
: x = x1-
(temp1 * lest_0[i]
) i=i+
1 a_unit_matrix[flag]
= lest_1
flag = flag +
1 j = j +
1print
("將a矩陣與單位矩陣合併，然後化為下三角矩陣為："
)for i in
range
(len
(a_unit_matrix)):
m =1/ a_unit_matrix[i]
[i+len
(a)]
for j in
range
(len
(a_unit_matrix[0]
)): a_unit_matrix[i]
[j]=m*a_unit_matrix[i]
[j]print
(np.array(a_unit_matrix)
)# 分解為l的逆矩陣和u矩陣
l=u=
for i in
range
(len
(a_unit_matrix)):
)[])
for i in
range
(len
(a_unit_matrix)):
for j in
range
(len
(a_unit_matrix[i]))
:if j<
len(a_unit_matrix[i])/
2:u[i]
[j])
else
: l[i]
[j])
print
("l矩陣為："
)print
(np.linalg.inv(np.array(l)))
print
("u矩陣為："
)print
(np.array(u)
)# 求d矩陣
d=np.dot(l,b)
print
("d矩陣為："
)print
(d)# 通過u的逆矩陣求x矩陣
u_inverse = np.linalg.inv(np.array(u)
) x = np.dot(u_inverse, d)
print
("x矩陣為："
)print
(x) 
lu_decomposition(
)

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