演算法之排列與組合演算法

1. 前言

本文介紹了常用的排列組合演算法，包括全排列演算法，全組合演算法，m個數選n個組合演算法等。

2. 排列演算法

常見的排列演算法有：

(a)字典序法

(b)遞增進製數法

(c)遞減進製數法

(d)鄰位對換法

(e)遞迴法

介紹常用的兩種：

(1) 字典序法

對給定的字符集中的字元規定了乙個先後關係，在此基礎上按照順序依次產生每個排列。

[例]字符集,較小的數字較先,這樣按字典序生成的全排列是:123,132,213,231,312,321。

生成給定全排列的下乙個排列所謂乙個的下乙個就是這乙個與下乙個之間沒有字典順序中相鄰的字串。這就要求這乙個與下乙個有盡可能長的共同字首，也即變化限制在盡可能短的字尾上。

演算法思想：

設p是[1,n]的乙個全排列。

p=p1p2…pn=p1p2…pj-1pjpj+1…pk-1pkpk+1…pn , j=max ,對換pj，pk，將pj+1…pk-1pjpk+1…pn翻轉， p』= p1p2…pj-1pkpn…pk+1pjpk-1…pj+1即p的下乙個

例子:839647521的下乙個排列.

從最右開始,找到第乙個比右邊小的數字4(因為4<7，而7>5>2>1),再從最右開始,找到4右邊比4大的數字5(因為4>2>1而4<5),交換4、5,此時5右邊為7421,倒置為1247,即得下乙個排列:839651247.用此方法寫出全排列的非遞迴演算法如下

該方法支援資料重複，且在c++ stl中被採用。

(2) 遞迴法

設一組數p = , 全排列為perm(p)，pn = p – 。則perm(p) = r1perm(p1), r2perm(p2), r3perm(p3), … , rnperm(pn)。當n = 1時perm(p} = r1。

如：求的全排列

1、首先看最後兩個數4, 5。它們的全排列為4 5和5 4, 即以4開頭的5的全排列和以5開頭的4的全排列。

由於乙個數的全排列就是其本身，從而得到以上結果。

2、再看後三個數3, 4, 5。它們的全排列為3 4 5、3 5 4、 4 3 5、 4 5 3、 5 3 4、 5 4 3 六組數。

即以3開頭的和4,5的全排列的組合、以4開頭的和3,5的全排列的組合和以5開頭的和3,4的全排列的組合.

#include int n = 0;
void swap(int *a, int *b)
void perm(int list, int k, int m)
else
}}int main()
; perm(list, 0, 4);
printf("total:%d\n", n);
return 0;
}

3. 組合演算法

3.1 全組合

在此介紹二進位制轉化法，即，將每個組合與乙個二進位制數對應起來，列舉二進位制的同時，列舉每個組合。如字串：abcde

00000 <– –> null

00001<– –> e

00010 <– –> d

11111 <– –> abcde

3.2 從n中選m個數

(1) 遞迴

a. 首先從n個數中選取編號最大的數，然後在剩下的n-1個數裡面選取m-1個數，直到從n-(m-1)個數中選取1個數為止。

b. 從n個數中選取編號次小的乙個數，繼續執行1步，直到當前可選編號最大的數為m。

下面是遞迴方法的實現：

/// 求從陣列a[1..n]中任選m個元素的所有組合。
/// a[1..n]表示候選集，n為候選集大小，n>=m>0。
/// b[1..m]用來儲存當前組合中的元素(這裡儲存的是元素下標)，
/// 常量m表示滿足條件的乙個組合中元素的個數，m=m，這兩個引數僅用來輸出結果。
void combine( int a, int n, int m, int b, const int m )
}}

(2) 01轉換法

本程式的思路是開乙個陣列，其下標表示1到n個數，陣列元素的值為1表示其代表的數被選中，為0則沒選中。

首先初始化，將陣列前n個元素置1，表示第乙個組合為前n個數。

然後從左到右掃瞄陣列元素值的「10」組合，找到第乙個「10」組合後將其變為「01」組合，同時將其左邊的所有「1」全部移動到陣列的最左端。

當第乙個「1」移動到陣列的n-m的位置，即n個「1」全部移動到最右端時，就得到了最後乙個組合。

例如求5中選3的組合：

1 1 1 0 0 //1,2,3 1 1 0 1 0 //1,2,4 1 0 1 1 0 //1,3,4 0 1 1 1 0 //2,3,4 1 1 0 0 1 //1,2,5 1 0 1 0 1 //1,3,5 0 1 1 0 1 //2,3,5 1 0 0 1 1 //1,4,5 0 1 0 1 1 //2,4,5

0 0 1 1 1 //3,4,5

4. 參考資料

(1)

(2)

(3)

(4)

演算法之排列與組合演算法

排列組合演算法

排列組合演算法

排列組合演算法

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