提要： 阿爾弗雷德·塔斯基（alfred tarski）在一次題為「什麼是邏輯概念？」的演講中，對數學和邏輯的關係這個玄之又玄的問題給出非常優雅而簡潔的回答。數學是邏輯的一部分還是相反？這是個有意思的話題。
邏輯學家大概喜歡說數學只不過是邏輯的一部分。羅素與懷特海的《數學原理》就是做這個的。但是這難免會令一些數學家不爽。
看到塔斯基對這個問題的解答，感覺很簡潔和優雅。2023年5月塔爾斯基在倫敦大學貝德福德學院的演講，題目是「什麼是邏輯概念？」柯可蘭整理了這個演講稿，在塔斯基去世後第三年，發表在《邏輯史和邏輯哲學》2023年第7卷。
塔斯基首先對什麼是乙個邏輯的概念提出了乙個方案：「稱乙個概念是 「邏輯的」，如果它對世界到自身的所有可能的一一變換都保持不變。」 其中，「世界」也可代換為「論域」。
這個方案（也就是術語「邏輯概念」的界定）的合理性在**？乙個有力的回答是，《數學原理》中定義的概念都符合這個提議。這裡，塔斯基呈現了乙個似乎並不難理解的簡潔而優雅的說明，在上述建議的意義下，
1）在個體層次上不存在邏輯概念；
2）在個體類中，恰有兩個邏輯概念（全域類和空類）；
3）二元關係只有四個邏輯概念（n元關係有少量有窮多個）；
4）類的類（類的性質）：僅與這些類中元素的數目有關的性質才是邏輯概念。
進一步，類之間的關係：類之間的包含、兩個類的不相交性、兩個類的重疊以及許多其他關係，都符合上述「邏輯概念」的定義，並且也都是通常意義上的邏輯概念。
換言之，在域的所有一一變換中保持不變的這一性質，正是一直以來人們認為是邏輯概念的那些物件背後的基本性質。
再此基礎上，塔斯基通過對「數學概念是否都是邏輯概念」的討論，來引出「數學是否邏輯的一部分」的答案。
「眾所周知，全部數學可以在集合論或類理論中構造，因此，上述問題可以歸約為如下問題：集合論的概念是否都是邏輯概念？我們又知道，所有通常的集合論概念可以用乙個概念來定義，即歸屬概念或屬於關係的概念，因此我們的問題的最後一種形式是：屬於關係是否是我所建議的意義上的邏輯概念？」
（驚嘆：乙個看似玄而又玄的問題，就歸結於「屬於關係」的定義方法這麼乙個「小」問題上！）
答案是——取決於怎樣構造集合論。用「型別方法」（《數學原理》的方法），集合論就是邏輯的一部分。用「一階方法」（策梅洛、馮·諾依曼和貝奈斯等人的方法），其中「沒有型別分層，只有乙個論域，個體之間的屬於關係是不加定義的關係、乙個初始概念」，這樣，數學概念就不屬於上述意義的邏輯概念。
原發：2015-05-08
作者印記：f6c6c0
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