第一次危機發生在西元前580～568年之間的古希臘，數學家畢達哥拉斯建立了畢達哥拉斯學派。這個學派集宗教、科學和哲學於一體，該學派人數固定，知識保密，所有發明創造都歸於學派領袖。當時人們對有理數的認識還很有限，對於無理數的概念更是一無所知，畢達哥拉斯學派所說的數，原來是指整數，他們不把分數看成一種數，而僅看作兩個整數之比，他們錯誤地認為，宇宙間的一切現象都歸結為整數或整數之比。該學派的成員希伯索斯根據勾股定理（西方稱為畢達哥拉斯定理）通過邏輯推理發現，邊長為1的正方形的對角線長度既不是整數，也不是整數的比所能表示。希伯索斯的發現被認為是「荒謬」和違反常識的事。它不僅嚴重地違背了畢達哥拉斯學派的信條，也衝擊了當時希臘人的傳統見解。使當時希臘數學家們深感不安，相傳希伯索斯因這一發現被投入海中淹死，這就是第一次數學危機。
最後，這場危機通過在幾何學中引進不可通約量概念而得到解決。兩個幾何線段，如果存在乙個第三線段能同時量盡它們，就稱這兩個線段是可通約的，否則稱為不可通約的。正方形的一邊與對角線，就不存在能同時量盡它們的第三線段，因此它們是不可通約的。很顯然，只要承認不可通約量的存在使幾何量不再受整數的限制，所謂的數學危機也就不復存在了。
我認為第一次危機的產生最大的意義導致了無理數地產生，比如說我們現在說的 ， 都無法用 來表示，那麼我們必須引入新的數來刻畫這個問題，這樣無理數便產生了，正是有這種思想，當我們將負數開方時，人們引入了虛數i（虛數的產生導致復變函式等學科的產生，並在現代工程技術上得到廣泛應用），這使我不得不佩服人類的智慧型。但我個人認為第一次危機的真正解決在2023年德國數學家對無理數的嚴格定義，因為數學是很強調其嚴格的邏輯與推證性的。
第二次數學危機發生在十七世紀。十七世紀微積分誕生後，由於推敲微積分的理論基礎問題，數學界出現混亂局面，即第二次數學危機。其實我翻了一下有關數學史的資料，微積分的雛形早在古希臘時期就形成了，阿基公尺德的逼近法實際上已經掌握了無限小分析的基本要素，直到2023年後，牛頓和萊布尼茲開闢了新的天地——微積分。微積分的主要創始人牛頓在一些典型的推導過程中，第一步用了無窮小量作分母進行除法，當然無窮小量不能為零；第二步牛頓又把無窮小量看作零，去掉那些包含它的項，從而得到所要的公式，在力學和幾何學的應用證明了這些公式是正確的，但它的數學推導過程卻在邏輯上自相矛盾．焦點是：無窮小量是零還是非零？如果是零，怎麼能用它做除數？如果不是零，又怎麼能把包含著無窮小量的那些項去掉呢？
直到19世紀，柯西詳細而有系統地發展了極限理論。柯西認為把無窮小量作為確定的量，即使是零，都說不過去，它會與極限的定義發生矛盾。無窮小量應該是要怎樣小就怎樣小的量，因此本質上它是變數，而且是以零為極限的量，至此柯西澄清了前人的無窮小的概念，另外weistrass創立了 極限理論，加上實數理論，集合論的建立，從而把無窮小量從形上學的束縛中解放出來，第二次數學危機基本解決。
而我自己的理解是乙個無窮小量，是不是零要看它是運動的還是靜止的，如果是靜止的，我們當然認為它可以看為零；如果是運動的，比如說1/n，我們說 ，但n個1/n相乘就為1，這就不是無窮小量了，當我們遇到 等情況時，我們可以用洛比達法則反覆求導來考查極限，也可以用taylor展式展開後，一階一階的比，我們總會在有限階比出大小。
第三次數學危機發生在2023年，羅素悖論的產生震撼了整個數學界，號稱天衣無縫，絕對正確的數學出現了自相矛盾。
我從很早以前就讀過「理髮師悖論」，就是一位理髮師給不給自己理髮的人理髮。那麼理髮師該不該給自己理髮呢？還有大家熟悉的「說謊者悖論」，其大體內容是：乙個克里特人說：「所有克里特人說的每一句話都是謊話。」試問這句話是真還是假?從數學上來說，這就是羅素悖論的乙個具體例子。
羅素在該悖論中所定義的集合r，被幾乎所有集合論研究者都認為是在樸素集合論中可以合法存在的集合。事實雖是這樣但原因卻又是什麼呢？這是由於r是集合，若r含有自身作為元素，就有r r，那麼從集合的角度就有r r。乙個集合真包含它自己，這樣的集合顯然是不存在的。因為既要r有異於r的元素，又要r與r是相同的，這顯然是不可能的。因此，任何集合都必須遵循r r的基本原則， 否則就是不合法的集合。這樣看來，羅素悖論中所定義的一切r r的集合，就應該是一切合法集合的集合，也就是所有集合的集合，這就是同類事物包含所有的同類事物，必會引出最大的這類事物。歸根結底，r也就是包含一切集合的「最大的集合」了。因此可以明確了，實質上，羅素悖論就是乙個以否定形式陳述的最大集合悖論。
從此，數學家們就開始為這場危機尋找解決的辦法，其中之一是把集合論建立在一組公理之上，以迴避悖論。首先進行這個工作的是德國數學家策梅羅，他提出七條公理，建立了一種不會產生悖論的集合論，又經過德國的另一位數學家弗芝克爾的改進，形成了乙個無矛盾的集合**理系統（即所謂zf公理系統），這場數學危機到此緩和下來。
現在，我們通過離散數學的學習，知道集合論主要分為cantor集合論和axiomatic集合論，集合是先定義了全集i，空集 ，在經過一系列一元和二元運算而得來得。而在七條公理上建立起來的集合論系統避開了羅素悖論，使現代數學得以發展。
數學史上的三大危機
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數學基礎危機不是數學危機
數學基礎危機不是數學危機 進入20 世紀，數學悖論的發現，說明數學理論基礎出了問題，而不是數學本身生病了。為了避免 數學悖論 數學家尋求採用形式化公理系統驅趕悖論，但是，1931 年，德國 小矛頭 哥德爾指出 任何形式公理系統 只要包含基本算術公理 都是不完全的。也就是說，在該系統內必然存在不可證明...
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今年年初，國家教育部發布普通高中數學課程的新標準，全面培養學生的數學核心素養，不再沿襲注重能力發展的老模式。這是巨大的進步！大家知道，進入20世紀，古老的數學基礎研究遇到 煩 也叫 危機 直至今日，數學基礎的危機過去了嗎？正確的答案是 沒有過去。數學基礎的危機只是部分地得到了解決，留給我們的下一代，...