在數學的歷史上，有過三次比較重大的危機，第一次是關於無理數的，這次危機把畢達哥拉斯的數學王朝推翻，第二次數學危機是關於微積分的，是常識跟數學之間的契合的問題；第三次數學危機發生在二十世紀初，這次危機涉及到了數學中最基礎的大廈，差點把整個數學理論推翻重來。
畢達哥拉斯學派在數學上的一項重大貢獻是證明了畢達哥拉斯定理，也就是我們所說的勾股定理。勾股定理指出直角三角形三邊應有如下關係，即a2=
b2+c
2a^2 =b^2+ c^2
a2=b2+
c2，a和b分別代表直角三角形的兩條直角邊，c表示斜邊。
然而不久畢達哥拉斯學派的乙個學生希伯斯很快便發現了這個論斷的問題。他發現等腰直角三角形兩直角邊為1時，斜邊永遠無法用最簡整數比（有理數）來表示，從而發現了第乙個無理數，希伯斯推翻了畢達哥拉斯的著名理論。相傳當時畢達哥拉斯派的人正在海上，但就因為這一發現而把希伯斯拋入大海。
第一次數學危機極大地促進了幾何學的發展，使幾何學在此後兩千年間成為幾乎是全部嚴密數學的基礎，這不能不說是數學思想史上的一次巨大革命。
十七世紀後期，牛頓和萊布尼茲創立了微積分，在實踐中取得了巨大成功。然而，微積分學產生伊始，迎來的並非全是掌聲，在當時它還遭到了許多人的強烈攻擊和指責，原因在於當時的微積分主要建立在無窮小分析之上，而無窮小後來證明是包含邏輯矛盾的。因而，從微積分誕生時就遭到了一些人的反對與攻擊。其中攻擊最猛烈的是英國大主教貝克萊。
微積分中的最根本的東西就是這個無窮小，像我們古代祖沖之求∏值，就用到了這個原理，就是把圓的周長解想成包圍他的兩個多邊形周長和的一半，這兩個多邊形的邊數越多（邊長越短，無窮小），計算得越精確；還有卡瓦列里(伽利略的學生)提出了「點動成線，線動成面，面動成體。」的思想。但是這個無窮小到底是個什麼東西，它跟0又是什麼關係，一直都沒有搞清楚，導致產生了一些很有意思的悖論，像典型的龜兔賽跑悖論。說的是龜兔，如果烏龜先跑100公尺，烏龜的速度是兔子的一半，那麼兔子永遠也追不上烏龜，因為等兔子跑完前面一段a時，烏龜又跑了a/2，邏輯上毫無違和感，但事實上正常人都知道這是不可能的。所以無窮小的合理性受到了質疑。
一直到十九世紀二十年代，一些數學家才開始比較關注於微積分的嚴格基礎。它們從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里克萊等人的工作開始，最終由威爾斯特拉斯、戴德金和康托爾徹底完成，中間經歷了半個多世紀，基本上解決了矛盾，為數學分析奠定了乙個嚴格的基礎。波爾查諾不承認無窮小數和無窮大數的存在，而且給出了連續性的正確定義。柯西在2023年的《代數分析教程》中從定義變數開始，認識到函式不一定要有解析表示式。他抓住了極限的概念，指出無窮小量和無窮大量都不是固定的量而是變數，並定義了導數和積分;阿貝爾指出要嚴格限制濫用級數展開及求和;狄里克萊給出了函式的現代定義。在這些數學工作的基礎上，維爾斯特拉斯消除了其中不確切的地方，給出現在通用的ε - δ的極限、連續定義，並把導數、積分等概念都嚴格地建立在極限的基礎上，從而克服了危機和矛盾。
十九世紀下半葉，康托爾創立了著名的集合論，集合論是數學上最具革命性的理論，初衷是為整個數學大廈奠定堅實的基礎。可是2023年，乙個震驚數學界的訊息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。
通俗一點來講這個理論就是說：乙個理髮師說他只給不給自己理髮的人理髮，那他是否應該給自己理髮？如果他給自己理髮，那麼他就違背了自己的原則，因為他只給不給自己理髮的人理髮，但如果他不給自己理髮，那他也會違背自己的原則。
時至今日，第三次數學危機還不能說已從根本上消除了，因為數學基礎和數理邏輯的許多重要課題還未能從根本上得到解決。然而，人們正向根本解決的目標逐漸接近。可以預料，在這個過程中還將產生許多新的重要成果。
數學史上的3次危機
無理數的發現 第一次數學危機 大約西元前5世紀，不可通約量的發現導致了畢達哥拉斯悖論。當時的畢達哥拉斯學派重視自然及社會中不變因素的研究，把幾何 算術 天文 稱為 四藝 在其中追求宇宙的和諧規律性。他們認為 宇宙間一切事物都可歸結為整數或整數之比，畢達哥拉斯學派的一項重大貢獻是證明了勾股定理，但由此...
數學三大危機
第一次危機發生在西元前580 568年之間的古希臘，數學家畢達哥拉斯建立了畢達哥拉斯學派。這個學派集宗教 科學和哲學於一體，該學派人數固定，知識保密，所有發明創造都歸於學派領袖。當時人們對有理數的認識還很有限，對於無理數的概念更是一無所知，畢達哥拉斯學派所說的數，原來是指整數，他們不把分數看成一種數...
數學歷史上的三次危機
經濟上有危機，歷史上數學也有三次危機。第一次危機發生在西元前580 568年之間的古希臘，數學家畢達哥拉斯建立了畢達哥拉斯學派。這個學派集宗教 科學和哲學於一體，該學派人數固定，知識保密，所有發明創造都歸於學派領袖。當時人們對有理數的認識還很有限，對於無理數的概念更是一無所知，畢達哥拉斯學派所說的數...