埃氏篩法過程中，每個數會被其所有質因數篩一遍，導致o(n
logn
)o(nlogn)
o(nlog
n)的複雜度。
for
(int i =
2; i <= n; i++)if
(is_prime[i]&&(
long
long
)i * i <= n)
nlogn
logn
的複雜度.
具體的做法是，從2列舉每個自然數，先確定其是否是質數（並將質數從小到大存在 prpr
pr陣列中），然後找到其最小的質因數lplp
lp。在[ 2,
lp
][2,lp]
[2,lp]
範圍內從小到大列舉所有已篩得的質數prj
pr_j
prj
，將對應的i⋅p
ri
i\cdot pr_i
i⋅pri
的最小質因數設為pri
pr_i
pri
。可以證明這樣是對的，因為pri
pr_i
pri
小於i的最小質因子,所以i⋅p
ri
i\cdot pr_i
i⋅pri
的最小質因數只能是pri
pr_i
pri
。
vector<
int> pr;
void
sieve_pr()
for(
int j =
0; j <
(int
)pr.
size()
&& pr[j]
<= lp[i]
&& i*pr[j]
<= n;
++j)
lp[i * pr[j]
]= pr[j];}
}
)f(p^c)
f(pc)即f(p
c∗x)
f(p^c*x)
f(pc∗x
).f (p
c∗x)
=f(p
c)∗f
(x
)f(p^c*x)=f(p^c)*f(x)
f(pc∗x
)=f(
pc)∗
f(x)
篩μ
\muμ
令p
ip_i
pi為小於i最小質因子的所有質數。根據莫比烏斯函式的定義有：
μ (p
)=−1
μ(pk
)=
0\mu(p)=-1 \\ \mu(p^k)=0
μ(p)=−
1μ(p
k)=0
得 &\mu(p_i*i)=0&\mathrm\ [p_i|i]\\ else&\mu(p_i*i)=-\mu(p_i)& \end
for(
int j =
0; j <
(int
)pr.
size()
&& pr[j]
<= lp[i]
&& i*pr[j]
<= n;
++j)
}}篩φ
\varphi
φ 根據φ(p
)=p−
1ϕ(p
k)=p
k−pk
−1
\varphi(p)=p-1\\ \phi(p^k) = p^k - p^\\
φ(p)=p
−1ϕ(
pk)=
pk−p
k−1有
&\varphi(p_i*i)=\varphi(i)*p_i\ \mathrm\ \ [p_i|i]\\ else&\varphi(p_i*i)=\varphi(i)*(p_i-1) \end
for(
int j =
0; j <
(int
)pr.
size()
&& pr[j]
<= lp[i]
&& i*pr[j]
<= n;
++j)
}}當然時間允許可以直接寫埃氏篩：
φ (n
)=n∏
p∣n(
1−1p
)\varphi(n)=n\prod_\left(1-\frac\right)
φ(n)=n
p∣n∏
(1−
p1)
void
geteuler()
}
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