線性篩（尤拉篩）

昨天的考試跪的一塌糊塗：第一題水過，第二題帶wa的樸素，最後題忘了特判左端點全跪，分數比起預計得分整整打了個對折啊！

步入正題：線性篩（尤拉篩）

一般的篩法（ppt裡叫埃拉託斯特尼篩法，名字異常高貴）的效率是o(nlglgn)（其實很接近o(n)啊！），對於一些例如n=10000000的殘暴資料會跪，於是，線性篩登場了…

1 #include 2 using namespace std;

3 int prime[1100000],primesize,phi[11000000];
4 bool isprime[11000000];
5 void getlist(int listsize)
6 17 }
18 }

就我的理解，線性篩有兩個地方與一般篩不同：

1.兩層迴圈的順序不同（一般篩是第一維prime[i] 第二維j，尤拉篩是第一維i 第二位prime[j]）

2.一行神奇的**：

14             if(i%prime[j]==0)break;

接下來是證明這個演算法正確性的說明：

prime陣列中的素數是遞增的,當i能整除prime[j]，那麼i*prime[j+1]這個合數肯定被prime[j]乘以某個數篩掉。

因為i中含有prime[j],prime[j]比prime[j+1]小，即i=k*prime[j]，那麼i*prime[j+1]=(k*prime[j])*prime
[j+1]=k』*prime[j]，接下去的素數同理。所以不用篩下去了。因此，在滿足i%prime[j]==0這個條件之前以及第一次
滿足改條件時,prime[j]必定是prime[j]*i的最小因子。

顯然，線性篩只拿來篩篩素數是很不科學的，它的速度大約是一般篩的3~4倍，在資料量小的時候甚至慢些（用到了mod運算）。

接下來就是它的重量級應用了：求解積性函式

p.s.睡了一覺，精神抖擻！

積性函式f(x)應滿足f(a×b)=f(a)×f(b)，a與b應互素。而完全積性函式則應滿足對於任意的a與b，前面的等式應成立。

先是尤拉phi函式（反演不怎麼懂）：

1 void getlist(int listsize)

2 12 for(int j=1;j<=primesize&&i*prime[j]<=listsize;j++)
13 
20 phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
21 }
22 }
23 }

1.每個合數只會被篩到一次（前面說明過）。

2.當正整數p是素數時，phi[p]=p-1。

3.phi函式是乙個積性函式，當a與b互素時，滿足phi(a×b)=phi(a)×phi(b)。

4.上述**中的i永遠大於等於prime[j]，又因為prime[j]必然是素數，所以i、prime[j]互素當且僅當i=0 (mod prime[j])。

5.當p是素數時，phi(pk)=(p-1)×pk-1

原因1保證了每個數的phi只會被計算一次，第10行的**可以由原因2解釋，第20行的**可以由原因2與原因3解釋，第17行的**可以由原因5所解釋。

還是覺得這個演算法好神奇……

接下來的東西就和昨天的考試有關了，先是求每個數的因數個數：

記每個數因數個數為e(i)，顯然函式e(i)是積性函式但不是完全積性函式。

首先，當p是素數時e(i)=2。

對於i與prime[j]互素的情況，直接相乘即可。而對於i與prime[j]不互素的情況，就有點複雜了。

我們要再記錄乙個num陣列，num[i]表示i的最小素因子（即每次遞推時的prime[j]）的次數。

對於i與prime[j]不互素的情況，e(i×prime[j])=e(i)÷(num[i]+1)×(num[i]+2)。

num陣列的維護也是很方便的：對於所有n為素數或n=i×prime[j]（i與prime[j]互素）的情況，num(i)=1，對於另外一種情況num[i*prime[j]]=num[i]+1。

再是求因數和還有因數平方和（兩者差不了多少）

設數n的因數和為q(n)，有q(n)=(1+p1+p1

2+…+p1

k1)×(1+p2+p2

2+…+p2

k2)×…×(1+pn+pn

2+…+pn

kn)。

顯然，函式q是積性的，我們只用考慮i與prime[j]不互質的情況，一種辦法是用乘法逆元搞，顯然這是不科學的，真正的做法如下

q(i×prime[j])=q(i÷prime[j]num[i])×q(prime[j]num[i]+1)

其中的prime[j]num[i]是可以預先存好的。這種做法還是利用了積性函式的性質。

最後附上昨天第二題的**

1 #include 2 #include 3 using namespace std;

4 inline long long imax(long long a,long long b)
5 const int mo=1000000007;
6 long long q[2100000];
7 long long prime[11000000],pnum,ynum[11000000],ysum[11000000],c[11000000];
8 bool isprime[10000001];
9 void getlist(int listsize)
10 22 for(int j=1;j<=pnum&&i*prime[j]<=listsize;j++)
23 
34 else 
35 
39 break;
40 }
41 else 
42 
47 }
48 }
49 }
50 int main(int argc, char *argv)
51 62 getlist(biggest);
63 long long ansnum=0,anssum=0;
64 for(int i=1;i<=n;i++)
65 
73 }
74 cout< 

尤拉篩 線性篩

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