複雜度分析

對於剛羅列的複雜度量級，我們可以粗略地分為兩類，多項式量級和非多項式量級。其中，非多項式量級只有兩個：o(2n) 和 o(n!)。

我們把時間複雜度為非多項式量級的演算法問題叫作 np（non-deterministic polynomial，非確定多項式）問題。

當資料規模 n 越來越大時，非多項式量級演算法的執行時間會急劇增加，求解問題的執行時間會無限增長。所以，非多項式時間複雜度的演算法其實是非常低效的演算法。因此，關於 np 時間複雜度我就不展開講了。我們主要來看幾種常見的多項式時間複雜度。

o(1) 只是常量級時間複雜度的一種表示方法，並不是指只執行了一行**。比如這段**，即便有 3 行，它的時間複雜度也是 o(1），而不是 o(6)。

int i =8;

int j =6;
int k =6;
int x =6;
int sum = i + j;
int cal = k * x;

只要**的執行時間不隨 n 的增大而增長，這樣**的時間複雜度我們都記作 o(1)。或者說，一般情況下，只要演算法中不存在迴圈語句、遞迴語句，即使有成千上萬行的**，其時間複雜度也是ο(1)。

直接看個例子

i=1;

while
(i <= n)

通過 2x=n 求解 x 這個問題我們想高中應該就學過了，我就不多說了。x=log2n，所以，這段**的時間複雜度就是 o(log2n)。

再看個例子：

i=1;

while
(i <= n)

很簡單就能看出來，這段**的時間複雜度為 o(log3n)。

實際上，不管是以 2 為底、以 3 為底，還是以 10 為底，我們可以把所有對數階的時間複雜度都記為 o(logn)。為什麼呢？

我們知道，對數之間是可以互相轉換的，log3n 就等於 log32 * log2n，所以 o(log3n) = o(c * log2n)，其中 c=log32 是乙個常量。基於我們前面的乙個理論：在採用大 o 標記複雜度的時候，可以忽略係數，即 o(cf(n)) = o(f(n))。所以，o(log2n) 就等於 o(log3n)。因此，在對數階時間複雜度的表示方法裡，我們忽略對數的「底」，統一表示為 o(logn)。

如果一段**的時間複雜度是 o(logn)，我們迴圈執行 n 遍，時間複雜度就是 o(nlogn) 了。

int

cal(
int m,
int n)
int sum_2 =0;
int j =1;
for(
; j < n;
++j)
return sum_1 + sum_2;
}

m 和 n 是表示兩個資料規模。我們無法事先評估 m 和 n 誰的量級大，所以我們在表示複雜度的時候，就不能簡單地利用加法法則，省略掉其中乙個。所以，上面**的時間複雜度就是 o(m+n)。

m*n的跟這個類似，這裡不再贅述。

void

print
(int n)
for(i = n-
1; i >=0;
--i)
}

跟時間複雜度分析一樣，我們可以看到，第 2 行**中，我們申請了乙個空間儲存變數 i，但是它是常量階的，跟資料規模 n 沒有關係，所以我們可以忽略。第 3 行申請了乙個大小為 n 的 int 型別陣列，除此之外，剩下的**都沒有占用更多的空間，所以整段**的空間複雜度就是 o(n)。

我們常見的空間複雜度就是 o(1)、o(n)、o(n2)，像 o(logn)、o(nlogn) 這樣的對數階複雜度平時都用不到。而且，空間複雜度分析比時間複雜度分析要簡單很多。所以，對於空間複雜度，掌握剛我說的這些內容已經足夠了。

從低階到高階有：o(1)、o(logn)、o(n)、o(nlogn)、o(n2)。

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