最近被欽定要寫教材，負責斜率優化那一塊，就把寫的內容搬了些上來。
3.6.1斜率優化dp的基本思想
考慮這樣乙個問題：現在要給n個數a[1],a[2]…a[n]分組，每分出一組，你的代價為該組所有數的和的平方+乙個常數m（即設你分出的一組數字是2,3,4，m=5，則你分出該組的代價為（2+3+4）^2+5），求出一種分組方式使得代價總和最小，輸出這個最小的代價和。
如果是最基礎的dp，能夠很顯然地列出來：設dp[i]為將1~i分組的最小代價和，s[i]為a[1]+a[2]..+a[i]的和。dp[i]=min(f[j]+(s[i]-s[j])^2+m),(0<=j
我們想，在轉移時我們要花費大量時間列舉j，這很不划算，我們能否用o(1)或者o(logn)的時間尋找到所有轉移中最優的那個j呢？
我們假設在求解dp[i]的時候，有j,k（j>k）使得從j轉移比從k轉移更優，那麼需要滿足條件：
dp[j]+(s[i]
−s[j])^2+m−
s[k])^2+m
展開上式，移項並消去同類項可得：
(dp[j]
−dp[k]+s[j]^2
−s[k]^2)/(s[j]
−s[k])<2*s[i]
我們設f[j]=dp[j]+s[j]^2，f[k]同理，則可得：(f[j]
−f[k])/(s[j]
−s[k])<2*s[i]
也就是說當j>k時，若有上式，則用j更新dp[i]比用k更新dp[i]優。通過這樣我們已經能夠比較兩個點在轉移i的時候的優劣性了。
現在我們令g(j,k)=(f[j]-f[k])/(s[j]-s[k])，上式即轉換為若g(j,k)<2*s[i]，則j比k優，反之k比j優。有乙個結論是：
設x為大於i的乙個點，如果g(j,k)>g(i,j)（k
我們來嘗試證明它：
g(j,k)
和g(i,j)和2*s[x]有三種關係，即g(j,k)>g(i,j)>2*s[x]，g(j,k)> 2*s[x]>g(i,j)，2*s[x]>g(j,k)>g(i,j)，我們分情況討論：對於第一種關係，j比i優，但k比j優，所以j不可能成為最優決策點。對於第二種關係，i比j優，k比j優，所以j不可能成為最優決策點。對於第三種關係，i比j優，j比k優，所以j不可能成為最優決策點。 綜上所述，我們可以斷言：只要存在g(j,k)>g(i,j),(k
我們來想一想怎麼運用這個性質來優化dp。我們建立乙個佇列d表示可能的決策點集合，每次我們算出了dp[i]的值，便可以知道f[i]的值了。我們將i加入這個集合，根據上述的性質，我們可以用i刪去這個集合中的某些點。具體來說，就是刪去所有g(j,k)>g(i,j)的j。那我們難道要列舉每個j,k把它們嘗試刪除嗎？這樣太慢了，我們再來想辦法。
我們每次這樣維護，可以知道將佇列d中的點對映到平面上（以s為橫座標，以f為縱座標），它們依次的連線是下凸的(因為g(j,k)的本質就是斜率)，如圖所示：
有著這樣乙個性質，每次我們在佇列末尾插入乙個點i，就只需要檢驗在佇列中i，與i前面乙個位置j，與j前面乙個位置k（這裡所說的位置都是指在佇列中的位置），是否是呈下凸的，如果不呈，則將j刪去後繼續檢驗，直到呈下凸為止（這個用while迴圈可以實現）。
這樣，我們就得到乙個由所有可能決策點所組成的佇列d，如果我們現在要求dp[i]，我們應該由佇列d中的哪個來轉移過來呢？
我們先回想一下開始得到的結論：對於k我們現在知道集合d是下凸的，也就是g的值是逐漸遞增的，我們需要尋找乙個最大的g(j,k)，使得g(j,k)<2*s[i]，那麼這個j就是最優的決策點。證明：因為g(j,k)<2*s[i]，所以對於i來說j比k優，因為g遞增，所以對於k後乙個位置l，g(k,l)那麼我們關於斜率優化dp的思想的學習到這裡基本就結束了，我們現在來幫助大家總結一下整個過程，希望以此來幫助大家徹底掌握這個知識點。
1.先列出乙個最基礎的dp；如果這個dp不涉及最小最大值轉移，或對轉移有較多複雜的限制條件，則無法用斜率優化。
2.令k3.得到結論當g(j,k)
4.對於可能的決策點佇列d，根據結論維護上凸或下凸，即每次加入乙個點就刪去一些點。
5.在佇列d中，二分查詢乙個斜率小於s[i]且斜率最大的點（或斜率大於s[i]且斜率最小的點，看不等式符號決定），作為dp[i]的轉移點。特殊地，如果s[i]單調遞增遞減，還可以用單調佇列維護。
3.6.2斜率優化dp的應用
例3.6-1 hdu 3507 print article：
【參考程式】
#include
#define n 100010
int a[n],d[n],s[n],dp[n]; //字母的定義與上文相同
int y(int x,int y) //將相鄰點對映到平面上的縱座標之差
int x(int x,int y) //將相鄰點對映到平面上的橫座標之差
int main()
int l=0; int r=0;
for (int i=1;i<=n;i++)
printf("%d\n",dp[n]);
return 0;
}例3.6-2：
[apio2010]
特別行動隊
【題目描述】
你有一支由n名預備役士兵組成的部隊，士兵從1到n編號，要將他們拆分成若干特別行動隊調入戰場。出於默契考慮，同一支特別行動隊中隊員的編號應該連續，即為形如（i，i+1，…，i+k）的序列。
編號為i的士兵的初始戰鬥力為xi，一支特別運動隊的初始戰鬥力x為隊內士兵初始戰鬥力之和，即x=（xi）+（xi+1）+…+（xi+k）。
通過長期的觀察，你總結出一支特別行動隊的初始戰鬥力x將按如下經驗公式修正為x』：x』=ax^2+bx+c，其中a，b，c是已知的係數（a<0）。
作為部隊統帥，現在你要為這支部隊進行編隊，使得所有特別行動隊修正後戰鬥力之和最大。試求出這個最大和。
例如，你有4名士兵，x1=2,x2=2,x3=3,x4=4。經驗公式中的引數為a=-1，b=10，c=-20。此時，最佳方案是將士兵組成3個特別行動隊：第一隊包含士兵1和士兵2，第二隊包含士兵3，第三隊包含士兵4。特別行動隊的初始戰鬥力分別為4，3，4，修正後的戰鬥力分別為4，1，4。修正後的戰鬥力和為9，沒有其它方案能使修正後的戰鬥力和更大。
【輸入格式】
輸入由三行組成。第一行包含乙個整數n，表示士兵的總數。第二行包含三個整數a，b，c，經驗公式中各項的係數。第三行包含n個用空格分隔的整數x1，x2，…，xn，分別表示編號為1，2，…，n的士兵的初始戰鬥力。
【輸出格式】
輸出乙個整數，表示所有特別行動隊修正戰鬥力之和的最大值。
【樣例輸入】
4-1 10 -20
2 2 3 4
【樣例輸出】
9【資料範圍】
20%的資料中，n<=1000;
50%的資料中，n<=10000;
100%的資料中，1<=n<=1000000,-5<=a<=-1,b<=10000000,|c|<=10000000,1<=xi<=100。
【問題分析】
容易寫出dp方程：dp[i]=max(dp[j]+a*(s[i]−s[j])^2+b*(s[i]−s[j])+c)。考慮斜率優化。我們回憶一下上文的步驟，令kdp[k]+a*(s[i]−s[k])^2+b*(s[i]−s[k])+c，令f[x]=dp[x]+a*s[x]^2，則可得(f[j]-f[k])/(s[j]-s[k])>2*a*s[i]+b。令g(j,k)=(f[j]-f[k])/(s[j]-s[k])，則若g(j,k)>2*a*s[i]+b，則對於i來說j比k優，反之相反。可得結論若有g(j,k)
【參考程式】
#include
long long s[1000010],p[1000010];
long long f[1000010];
int d[1000010];
int main()
printf("%lld\n",f[n]);
return 0;
}3.6.3斜率優化習題推薦
1.[hnoi2008] 玩具裝箱
【題目描述】
p教授要去看奧運，但是他捨不下他的玩具，於是他決定把所有的玩具運到北京。他使用自己的壓縮器進行壓縮，其可以將任意物品變成一堆，再放到一種特殊的一維容器中。p教授有編號為1…n的n件玩具，第i件玩具經過壓縮後變成一維長度為c[i].為了方便整理，p教授要求在乙個一維容器中的玩具編號是連續的。同時如果乙個一維容器中有多個玩具，那麼兩件玩具之間要加入乙個單位長度的填充物，形式地說如果將第i件玩具到第j個玩具放到乙個容器中，那麼該容器的長度將為 x=j-i+c[k],(i<=k<=j)
製作容器的費用與容器的長度有關，根據教授研究，如果容器長度為x,其製作費用為(x-l)^2.其中l是乙個常量。p教授不關心容器的數目，他可以製作出任意長度的容器，甚至超過l。但他希望費用最小.
【輸入格式】
第一行輸入兩個整數n,l，第二行輸入所有c[i]，1<=n<=50000,1<=l,c[i]<=10^7
【輸出格式】
一行，輸出最小費用
【樣例輸入】
5 43 4 2 1 4
【樣例輸出】
1
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史上最牛的面試
1.你為什麼來應聘這份工作。答 以前俺是乙隻迷途的騾子，現在可算找到組織了。2.你是怎麼知道我們招聘這個職位的呢？答 乙個合格的員工除了要有騾子般的身體以外，還必須有獵狗一樣的嗅覺。3.我們為什麼要聘你呢？答 俺吃的少，拉的多。4.你認為自己最大的優點是什麼？答 像騾子一樣吃苦，像工蜂一樣耐勞，像獵...