參考資料
[hnoi2008]玩具裝箱
設 s[i] = σ1≤i≤n (c[i] + 1)， 設狀態 dp[i] 表示裝好前 i 個， 值為最小花費， 則轉移為：
dp[i] = min0≤j 。
化簡 (s[i]-s[j]-1-l)2 ：將常量 l 加一， 變成 (s[i]-s[j]-l)2， 而後變成 s[i]2 + (s[j] + l)2 - 2s[i]s[j] - 2s[i]l。
最後方程化簡為 ：dp[i] = min0≤j ， 是 dp[i] = min/max 的形式。
看上去很 nb 的代數法
考慮 dp[i] 的兩個決策點 j1
< j2， 假設 j2 優於 j1， 可得：
(-2s[i]s[j2]) + (dp[j2] + (s[j2] + l)2) ≤ (-2s[i]s[j1]) + (dp[j1] + (s[j1] + l)2)
繼續化簡：
-2s[i] (s[j2] - s[j1]) ≤ (dp[j1] + (s[j1] + l)2) - (dp[j2] + (s[j2] + l)2)
由於 s[j2] > s[j1]， 故可除：
2s[i] ≥ \(\dfrac\)
若有 j2 > j1， 就可以通過判斷這個東西是否成立來判斷 j2 這個決策點是不是優於 j1 這個決策點。
然後設 x(i) = s[i], y(i) = dp[i] + (s[i] + l)2， 再設 p(i) = (x(i), y(i)) （平面直角座標系上的乙個點）， 問題就是在平面直角座標系上的乙個斜率判定問題。
考慮乙個只有三個點的上凸包， 可知不論怎樣，用上面那個結論可觀測到的有效決策集合是原決策集合的下凸包。具體推理見參考資料
線性規劃法
複習下形式：dp[i] = min/max
這種線性規劃法就是把某個決策點 j 的轉移，即 dp[i] = a(i) + b(j) + c(i) × d(j)， 在某個來自西方的神秘二維結構（即平面直角座標系）上以某種方式展開， 然後轉化為在這個二維結構上的最優化問題。
具體地， 先將除了 dp[i] 的東西以 ' 標示之， 記為常量：
dp[i] = a(i)' + b(j) + c(i)' × d(j)
然後將式子化成：
b(j) = -c(i)' × d(j) - a(i)' + dp[i]
然後現在的問題就是將所有決策點看成 (d(j),b(j))， 然後把乙個斜率為 -c(i)' 的直線對齊每個點， 找出最小的截距。
發現上凸包是不存在的， 維護決策點的下凸包即可。
兩種方法的評價
線性規劃 >>> 代數法，降維打擊！
斜率優化dp筆記
瞎扯 演算法真的是無止境，從暴力到dp原本以為很神奇了，沒想到還能優化dp，而且是把o n 2 變成o n 真是無 說。引入 我們來分析這麼乙個問題，給你n個數，要你把他們分成連續的若干塊，使得讓他們的每段和的平方加起來最小.正常我們會想到的就是o n 2 的dp，方程就是 dp i min dp ...
學習筆記 斜率優化
斜率優化入門題 設 f x 為 f x 的後綴和，t x 為 t x 的字首和。dp i 表示完成到第 i 任務的最小代價，轉移 dp i min 拆掉 我們發現只和 j 相關的可以直接預處理，現在的問題是確定了 i 如何快速找到乙個 j 令 y j dp j f j 1 times s t j x...
學習筆記 斜率優化
太久沒碰過這個玩意了，於是它就變成學習筆記了。一般來說，斜率優化的dp會比其它的dp得到轉移方程要簡單一點點。通式大概是 f i a i b j c i d j 也就是說，這種dp和單調佇列不同的一點是有同時和 i,j 有關的項，這時候就需要用到斜率優化。拿道題目來講可能效果更好一些。設字首和為 s...