斜率優化 學習筆記

前言：寒假yousiki講過斜率優化，但完全沒有聽懂。現在文化課解析幾何也學了不少，終於能做一些題了。

有時候我們列出dp方程會得到形如這樣的式子：

$f[i]=max/min+w[i](1\leq j我們變換一下形式：

$2*a[i]*b[j]+f[i]-a[i]^2-w[i]=f[j]+b[j]^2$

仔細一看，上面的等式可以化成$y=kx+b$的形式，即含$j$的項視為$x$和$y$，含$i$的項視為常數項。

根據這個式子，我們可以將轉移優化成$o(n)$的。

根據$y=kx+b$的形式，我們可以視為平面上有許多點，座標為$(b[j],f[j]+b[j]^2)$。這些點連起來可以形成乙個凸包。我們用單調佇列來維護這個凸包。

假設$k=2*a[i]>0$，即維護下凸包，斜率是單調遞增的。下面的講述可以用線性規劃來理解（人教版高中數學必修二）。

1.如果經過某兩點直線的斜率小於現在直線的斜率，那麼$head++$。因為我們現在的直線肯定是想經過凸包的邊界的，而現在的答案肯定不是最優。

2.現在的隊頭就是最優解。把$q[head]$帶到原方程中。

3.如果經過$q[tail]$和$q[tail-1]$的直線的斜率大於經過$q[tail-1]$和$i$的斜率，那麼$tail--$。因為凸包肯定是要囊括所有點的，不能讓有的點在凸包外面。

於是轉移被優化成$o(n)$的了。

怎麼樣？是不是很簡單？滑稽

其實學長教我們的時候推薦我們用叉積來判斷關係，因為會有些極端資料卡掉斜率（比如斜率不存在）。但大部分題都不卡斜率這種做法。

例題 【hnoi2008】玩具裝箱

題目鏈結

斜率優化入門題。

設$f[i]$表示考慮前$i$個玩具所花費的最小費用，很容易得出方程$f[i]=\min^i c[k])^2}$

字首和優化，變換一下形式：$f[i]=\min(f[j]+(sum[i]-sum[j]+i-j-1-l)^2)$

設$a[i]=sum[i]+i$，$b[i]=sum[i]+i+l+1$

則$f[i]=\min(f[j]+(a[i]-b[j])^2)$

化成$y=kx+b$的形式：$2*a[i]*b[j]+f[i]-a[i]^2=f[j]+b[j]^2$

然後斜率優化一下就可以了。

**：

#include#define int long long

using
namespace
std;
int dp[50005
],n,l,x;
double sum[50005
];int q[50005
],head,tail;
double a(int x) 
double b(int x)
double x(int x)
double y(int x)
double slope(int i,int j)
signed main()
head=tail=1
; 
for(int i=1;i<=n;i++)
printf(
"%lld
",dp[n]);
return0;
}

斜率優化學習筆記

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