【mcmf問題及數學模型】
在介紹最大流問題時，我們列舉了乙個最大物資輸送流問題。如果這個問題的已知條件還包括每條邊運送單位物資的費用，那麼怎樣運送，才能得到最大運輸量，並且輸送費用最少？這便是所謂最小費用最大流問題。
在最大流的有關定義的基礎上，若每條有向邊除權數c(e)（表示邊容量）外還有另外乙個權數w(e)（表示單位流所需費用），並且已求得該網路的最大流值為f， 那麼最小費用最大流問題，顯然可用以下線性規劃模型加以描述：
min ∑ w(e)f(e)
e∈e滿足 0≤f(e)≤c(e) ，對一切e∈e
f+(v)=f-(v) ，對一切v∈v
f+(x)=f （最大流約束）
（或f-(y)=f )
【演算法思路】
解決最小費用最大流問題，一般有兩條途徑。一條途徑是先用最大流演算法算出最大流，然後根據邊費用，檢查是否有可能在流量平衡的前提下通過調整邊流量，使總費用得以減少？只要有這個可能，就進行這樣的調整。調整後，得到乙個新的最大流。
然後，在這個新流的基礎上繼續檢查，調整。這樣迭代下去，直至無調整可能，便得到最小費用最大流。這一思路的特點是保持問題的可行性（始終保持最大流），向最優推進。另一條解決途徑和前面介紹的最大流演算法思路相類似，一般首先給出零流作為初始流。這個流的費用為零，當然是最小費用的。然後尋找一條源點至匯點的增流鏈，但要求這條增流鏈必須是所有增流鏈中費用最小的一條。如果能找出增流鏈，則在增流鏈上增流，得出新流。將這個流做為初始流看待，繼續尋找增流鏈增流。這樣迭代下去，直至找不出增流鏈，這時的流即為最小費用最大流。這一演算法思路的特點是保持解的最優性（每次得到的新流都是費用最小的流），而逐漸向可行解靠近（直至最大流時才是乙個可行解）。
由於第二種演算法和已介紹的最大流演算法接近，且演算法中尋找最小費用增流鏈，可以轉化為乙個尋求源點至匯點的最短路徑問題，所以這裡介紹這一演算法。
在這一演算法中，為了尋求最小費用的增流鏈，對每一當前流，需建立伴隨這一網路流的增流網路。例如圖 1 網路g 是具有最小 費用的流，邊旁引數為c(e) , f(e) , w(e)，而圖 2 即為該網路流 的增流網路g′。增流網路的頂點和原網路相同。 按以下原則建 立增流網路的邊：若g中邊(u，v)流量未飽，即f(u,v) ＜ e(u,v)，則g ' 中建邊(u,v)，賦權w ' (u,v)=w(u,v)；若g中邊(u, v)已有流量，即f(u,v)〉0，則g′中建邊(v,u)，賦權w′(v,u) =-w(u,v)。建立增流網路後，即可在此網路上求源點至匯點的最短路徑，以此決定增流路徑，然後在原網路上循此路徑增流。這裡，運用的仍然是最大流演算法的增流原理，唯必須選定最小費用的增流鏈增流。
計算中有乙個問題需要解決。這就是增流網路g ′中有負權邊，因而不能直接應用標號法來尋找x至y的最短路徑，採用其它計算有負權邊的網路最短路徑的方法來尋找x至y的最短路徑，將 大大降低計算效率。為了仍然採用標號法計算最短路徑，在每次建立增流網路求得最短路徑後,可將網路g的權w(e)做一次修正，使再建的增流網路不會出現負權邊，並保證最短路徑不至於因此而改變。下面介紹這種修改方法。
當流值為零，第一次建增流網路求最短路徑時，因無負權邊，當然可以採用標號法進行計算。為了使以後建立增流網路時不出現負權邊，採取的辦法是將 g中有流邊（f(e)＞0）的權w(e)修正為0。為此， 每次在增流網路上求得最短路徑後，以下式計算g中新的邊權w " (u,v)：
w " (u,v)=l(u)-l(v)+w(u,v) (*)
式中 l(u),l(v) -- 計算g′的x至y最短路徑時u和v的標號值。第一次求最短徑時如果(u,v)是增流路徑上的邊， 則據最短 路徑演算法一定有 l(v)=l(u)+w ' (u,v)=l(u)+w(u,v)， 代入(*)式必有
w″(u,v)=0。
如果(u,v)不是增流路徑上的邊，則一定有：
l(v)≤l(u)+w(u,v)，
代入(*)式則有 w(u,v)≥0。
可見第一次修正w(e)後，對任一邊，皆有w(e)≥0， 且有流 的邊（增流鏈上的邊），一定有w(e)=0。以後每次迭代計算，若 f(u,v)＞0，增流網路需建立(v,u)邊，邊權數w ' (v,u)=-w(u,v) =0，即不會再出現負權邊。
此外，每次迭代計算用(*)式修正一切w(e)， 不難證明對每一條x至y的路徑而言，其路徑長度都同樣增加l(x)-l(y)。因此，x至y的最短路徑不會因對w(e)的修正而發生變化。
【計算步驟】
１. 對網路g=[v,e,c,w]，給出流值為零的初始流。
２. 作伴隨這個流的增流網路g′=[v′,e′,w′]。
g′的頂點同g：v′=v。
若g中f(u,v)＜c(u,v)，則g′中建邊(u,v)，w(u,v)=w(u,v)。
若g中f(u,v)＞0，則g′中建邊(v,u)，w′(v,u)=-w(u,v)。
３. 若g′不存在x至y的路徑，則g的流即為最小費用最大流，
停止計算；否則用標號法找出x至y的最短路徑p。
４. 根據p，在g上增流： 對p的每條邊(u,v)，若g存在(u,v)，則(u,v)增流；若g存在(v,u)，則(v,u)減流。增（減）流後，應保證對任一邊有c(e)≥ f(e)≥0。
５. 根據計算最短路徑時的各頂點的標號值l(v)，按下式修 改g一切邊的權數w(e):
l(u)-l(v)+w(e)→w(e)。
６. 將新流視為初始流，轉２。
mysql最小費用最大流問題 最小費用最大流問題
複雜網路中，單源單點的最小費用最大流演算法 mcmf 應用廣泛。在實際網路問題中，不僅考慮從 vs到 vt的流量最大，還要考慮可行流在網路傳送過程中的費用問題，這就是網路的最小費用最大流問題。最小費用最大流問題的一般提法 已知容量網路 d v a c 每條弧 vi，vj 除了已給出容量 cij 外，...
mysql最小費用最大流問題 最小費用最大流問題
最小費用最大流就是在原來求最大流的基礎上，假設每條邊還有乙個單位流量所需要的費用，因為最小費用的出現，原本的平行邊變得有意義，並且允許反向增廣，基本上就是將原本bfs改為進行一次bellmanford演算法尋找最短路徑，只要初始流是該流量下的最小費用可行流，每次增廣後的新流都是新流量下的最小費用流。...
mysql最小費用最大流問題 最小費用最大流
最小費用最大流 修改的dijkstra ford fulksonff演算法 修改的dijkstra其實和johnson演算法的思想是一致的。乙個求最小費用最大流的樸素演算法是這樣的 1求最小費用增廣路2判斷是否存在增廣路，否的話演算法終止。3增加增廣路上邊的流量4在增廣路上新增必要的逆向負權邊5go...