基於優化的方法中乙個問題是如何表示障礙物，進而進行碰撞檢測。
乙個比較直觀的方法：將機械臂，障礙物用非常簡單、易用解析形式表達的形狀包圍，如圓柱，圓球，圓錐。尤其是圓球，因為它具有完美的對稱性，碰撞檢測只需要判斷到球心的距離就可以。但是這種方法在一些對幾何約束要求較高的場合不適用，並且有可能會讓求解器無法求出可行解；
比較精確的建模方法是利用多面體去表示物體，帶來的問題就是計算複雜度高。比如要表示乙個矩形：⋃}
⋂⋃}\\le x\}\bigcup\\}\}\bigcap \\le y\}\bigcup\\}\}
⋃}⋂⋃
}，當判斷乙個點在矩形內還是矩形外時，相當於要做4次運算。這是乙個非常簡單的情況，當判斷兩個多面體是否相交時，需要判斷的項要比這個多很多。目前判斷多面體相交比較快速的演算法有gjk。
在求解優化問題時，由於優化問題是乙個非凸問題，傳統的凸優化方法不能直接使用。目前的方法有：向約束集投影的方法，sqp方法(序列式凸優化)。
schulman曾提出一種基於sqp進行求解的方法，用帶符號距離構造碰撞約束，將碰撞約束表示為以關節角為引數的式子。下面對其進行介紹。如圖所示，我們想要讓機械臂繞過某些障礙物，去抓取某個物體，針對這個任務求出所有關節的連續的軌跡。
數學模型
minimizef(
x)subject togi
(x)≤
0,i=
1,…,
nine
qhi(
x)=0
,i=1
,…,n
eq\begin\textf(x)\\ \text\\ g_i(x)\le 0,\quad i=1,\dots,n_\\ h_i(x)=0,\quad i=1,\dots,n_ \end
minimizef(
x)subject togi
(x)
≤0,i
=1,…
,nin
eqh
i(x
)=0,
i=1,
…,ne
q其中x
xx是乙個高維陣列，橫向維度為運動過程中的取樣時間，縱向維度為每個時刻的聯合關節角
目標函式要考慮的乙個主要因素是使總移動路徑最短，另外還可以考慮加入速度，能耗等。
對於總路徑最短作為目標，並將關節角作為變數時，可將目標函式表示為：f(θ
1:t)
=∑t=
1t−1
∥θt+
1−θt
∥2f(\theta_)=\overset}\|\theta_-\theta_t\|^2
f(θ1:t
)=t
=1∑
t−1
∥θt+
1−θ
t∥2
將優化問題化為拉格朗日對偶形式，然後使用序列式優化，即：
1.每一迭代步都在當前x附近對問題做一次凸近似求解
2.每一次計算限制x改進很小的一步
相應的示意圖：
後續會更新
matlab,機械臂軌跡規劃，跟蹤軌跡。
clear l1 link 0 0 0 0 0 modified l2 link pi 2 0 70 pi 2 0 modified l3 link 0 20 100 0 modified l4 link pi 70 0 pi 2 modified l5 link 0 0 0 pi 2 0 modi...
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