設實半正定矩陣 $a$ 滿足:
$$\bee\label
\alpha\in \bbq^n,\quad\alpha^ta\alpha=0\ra \alpha=0.
\eee$$
證明或否定: $a$ 是正定的.
若 (1) 中的矩陣 $a$ 為有理半正定矩陣, 再回答第一小問.
解答：$a$ 不一定正定. 比如
$$\bex
a=\***
1&e\\
e&e^2\ea}
\eex$$
不正定, 但適合 \eqref. 因為
$$\beex
\bea
&\quad 0=\alpha^ta\alpha=x^2+2exy+e^2y^2\quad(\alpha^t=(x,y\in\bbq^2))\\
&\ra e=-x/y\mboxy=0\\
&\ra x=y=0,\quad \alpha=0.
\eea
\eeex$$
若 $a$ 為有理矩陣, 則結論正確. 經初等變換, 存在可逆有理陣 $p$, 使得 $p^tap=\diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)$. 由 $a$ 半正定知各 $\lambda_i\geq 0$. 若某 $\lambda_l=0$, 則取
$$\bex
\alpha^t=e_l^tp^t\neq 0,\quad e_l=(\underbrace_},0,\cdots,0),
\eex$$
有$$\bex
\alpha^ta\alpha
=e_l^tp^tape_l
=e_l^t\diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)e_l=0.
\eex$$
註記：這是我的博士同學 x.n. zeng 在看他的魔鬼數論書是提出並解決的. 但是他的提法有點問題.
你要搞懂我要問的是什麼哦. 我是說 ``任意滿足 $\alpha^tq\alpha=0$ 的有理向量 $\alpha$, 都適合 $\alpha=0$''.
kotori的裝置 實數域上二分答案
見 本題可以採用實數域上二分答案進行求解,正常的實數域二分模板,那麼如何判斷呢.我是先在輸入時變算好了該裝置可以堅持的時間t,將二分的mid值與t進行比較,如果t mid,那麼對於該裝置來說他可以不充電就執行mid時間,如果tmid那麼mid值就無法滿足，所以讓r mid，反之讓l mid 二分區間...
複數集合作為數域C和數域R上的空間
經常有同學問複數集合作為複數域和實數域上的線性空間的區別，本文給予乙個比較詳細的解釋。線性空間v v cdot v 是乙個代數系統，它的定義有四個要素 1 乙個數域ppp 2 乙個非空集合vvv 3 兩種線性運算 加法和數乘 4 八條運算規律 加法運算律a1 a4a 1 sim a 4 a1 a4 ...
把雙精度複數轉換為有理數形式的實部和虛部
mathematica中涉及到下面的幾個函式 realdigits把小數表示成各個位數及其十進位制指數的形式 但丟失符號位 fromdigits 從realdigits的結果，還原這個數，但表示為有理數形式 無法恢復丟失的符號位資訊 sign 考慮到符號的丟失，需要通過sign函式獲取符號，然後相乘...