由於周測**，做了好久的博弈題，找了好多關於博弈的相關資料，感覺自己，似乎還是動了那麼一點點。臨睡前，就小小的總結一下，希望以後看到的時候，可以有所感悟吧！！
接下來是正題。
講到博弈， 事實上也就是找規律，可是知道一般的博弈型別能夠高速便捷的解決這個問題。
博弈的型別大致有下面幾種：巴什博弈，威佐夫博奕，尼姆博弈。除此之外還有斐波那契博弈，sg模板等。
巴什博弈：
巴什博奕（bash game）：
僅僅有一堆n個物品，兩個人輪流從這堆物品中取物，規定每次至少取乙個，最多取m個。最後取光者得勝。
顯然，假設n=m+1，那麼因為一次最多僅僅能取m個，所以，不管先取者拿走多少個，後取者都可以一次拿走剩餘的物品，後者取勝。因此我們發現了怎樣取勝的法則：假設n=（m+1）r+s，（r為隨意自然數，s≤m),那麼先取者要拿走s個物品，假設後取者拿走k（≤m)個，那麼先取者再拿走m+1-k個，結果剩下（m+1）（r-1）個，以後保持這種取法，那麼先取者肯定獲勝。總之，要保持給對手留下（m+1）的倍數，就能最後獲勝。
這個遊戲還能夠有一種變相的玩法：兩個人輪流報數，每次至少報乙個，最多報十個，誰能報到100者勝。
巴什博弈主要內容是：n%(m+1)是否為零。 要是為零的話，就是先手輸，否則，先手贏
威佐夫博奕：
威佐夫博奕（wythoff game）：有兩堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆或同一時候從兩堆中取相同多的物品，規定每次至少取乙個，多者不限，最後取光者得勝。
這樣的情況下是頗為複雜的。我們用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，...,n)表示兩堆物品的數量並稱其為局勢，假設甲面對（0，0），那麼甲已經輸了，這樣的局勢我們稱為神秘局勢。前幾個神秘局勢是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。
能夠看出,a0=b0=0,ak是未在前面出現過的最小自然數,而 bk= ak + k，神秘局勢有例如以下三條性質：
1。不論什麼自然數都包括在乙個且僅有乙個神秘局勢中。
因為ak是未在前面出現過的最小自然數，所以有ak > ak-1 ，而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 >ak-1 。所以性質1。成立。
2。隨意操作都可將神秘局勢變為非神秘局勢。
其實，若僅僅改變神秘局勢（ak，bk）的某乙個分量，那麼還有乙個分量不可能在其它神秘局勢中，所以必定是非神秘局勢。假設使（ak，bk）的兩個分量同一時候降低，則因為其差不變，且不可能是其它神秘局勢的差，因此也是非神秘局勢。
3。採用適當的方法，能夠將非神秘局勢變為神秘局勢。
假設面對的局勢是（a,b），若 b = a，則同一時候從兩堆中取走 a 個物體，就變為了神秘局勢（0，0）；假設a = ak ，b > bk，那麼，取走b - bk個物體，即變為神秘局勢；假設 a = ak ， b < bk ,則同一時候從兩堆中拿走 ak - ab - ak個物體,變為神秘局勢（ ab - ak , ab - ak+ b - ak）；假設a > ak ，b= ak + k,則從第一堆中拿走多餘的數量a - ak 就可以；假設a < ak ，b= ak + k,分兩種情況，第一種，a=aj （j < k）,從第二堆裡面拿走 b - bj 就可以；另外一種，a=bj （j < k）,從第二堆裡面拿走 b - aj 就可以。
從如上性質可知，兩個人假設都採用正確操作，那麼面對非神秘局勢，先拿者必勝；反之，則後拿者取勝。
那麼任給乙個局勢（a，b），如何推斷它是不是神秘局勢呢？我們有例如以下公式：
ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，...,n 方括號表示取整函式)神秘的是當中出現了**切割數（1+√5）/2 = 1。618...,因此,由ak，bk組成的矩形近似為**矩形，因為2/（1+√5）=（√5-1）/2，能夠先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[j（1+√5）/2]，那麼a = aj，bj = aj + j，若不等於，那麼a = aj+1，bj+1 = aj+1+ j + 1，若都不是，那麼就不是神秘局勢。然後再依照上述法則進行，一定會遇到神秘
局勢。
威佐夫博奕的思想就是那個公式：推斷等號兩邊是否相等a(a是較小的數)==floor（（b-a）*（（sqrt（5.0）+1）/2）)
要是相等的話就是先手輸，否則先手贏
尼姆博弈：
尼姆博弈基本思想：
兩人從n堆物品中取隨意個，先取完者勝。
即將n堆物品的數量異或，得到的值假設為0，則先手敗，反之先手勝。
假設要求先手在勝的條件下，到神秘局勢的方法數，則推斷異或的值與每一堆原值異或後（結果應該表示該堆沒有參加異或時的異或值）與原值比較大小，
假設小於，則方法數加一。且相應的方法後，該堆的數目應變為異或的值與每一堆原值異或的值。
尼姆博弈的主要內容就是：對每堆的數量進行異或運算
fibonacci』s game（斐波那契博弈）
斐波那契博弈模型，大致上是這種：
有一堆個數為 n 的石子，遊戲兩方輪流取石子，滿足：
1. 先手不能在第一次把全部的石子取完；
2. 之後每次能夠取的石子數介於1到對手剛取的石子數的2倍之間（包括1和對手剛取的石子數的2倍）。
約定取走最後乙個石子的人為贏家，求必敗態。
**）分析：
n = 2時輸出second；
n = 3時也是輸出second；
n = 4時，第乙個人想獲勝就必須先拿1個，這時剩餘的石子數為3，此時不管第二個人怎樣取，第乙個人都能贏，輸出first；
n = 5時，first不可能獲勝，由於他取2時，second直接取掉剩下的3個就會獲勝，當他取1時，這樣就變成了n為4的情形，所以輸出的是second；
n = 6時，first僅僅要去掉1個，就能夠讓局勢變成n為5的情形，所以輸出的是first；
n = 7時，first取掉2個，局勢變成n為5的情形，故first贏，所以輸出的是first；
n = 8時，當first取1的時候，局勢變為7的情形，第二個人可贏，first取2的時候，局勢變成n為6得到情形，也是第二個人贏，取3的時候，second直接取掉剩下的5個，所以n = 8時，輸出的是second；
…………
從上面的分析能夠看出，n為2、3、5、8時，這些都是輸出second，即必敗點，細緻的人會發現這些滿足斐波那契數的規律，能夠判斷13也是乙個必敗點。
借助「zeckendorf定理」（齊肯多夫定理）：不論什麼正整數能夠表示為若干個不連續的fibonacci數之和。n=12時，僅僅要誰能使石子剩下8且此次取子沒超過3就能獲勝。因此能夠把12看成8+4，把8看成乙個站，等價與對4進行"氣喘操作"。又如13，13=8+5，5本來就是必敗態，得出13也是必敗態。也就是說，僅僅要是斐波那契數，都是必敗點。
所以我們能夠利用斐波那契數的公式：fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2]，僅僅要n是斐波那契數就輸出no。
經常使用的博弈型別，基本就是這些。以後碰見很多其它的再來補充。
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