首先，說明稱切向量垂直梯度曲線，這是梯度方向的法向向量方向：
設曲線x=x(t)。y=y(t)，z=z(t)是曲面u(x,y,z)=c上的一條曲線（c為常數。u(x,y,z)=c表示等高線），因為該曲線在曲面上，所以x=x(t)，y=y(t)。z=z(t)滿足方程u(x,y,z)=c，即u(x(t),y(t),z(t))=c，利用復合函式求導法則，方程兩邊同一時候對t求導數，得 (ðu/ðx)*x『(t)+(ðu/ðy)*y『(t)+(ðu/ðz)*z『(t)=0，所以向量(x'(t),y'(t),z'(t))【切向方向】與向量(ðu/ðx,ðu/ðy,ðu/ðz)【梯度】垂直。
可是，這裡須要注意的這裡的法向量方向是對等高線來說的。而非對曲面，曲面法向量須要加入對u求偏導。由於梯度方向是降維的，都是對自變數求導的。
而向量(x'(t),y'(t),z'(t))表示曲線的切向量，向量(ðu/ðx,ðu/ðy,ðu/ðz)表示梯度，所以梯度和切向量垂直。
說道這裡。可能還不好理解，用爬山來舉例。
爬山是最快的方向就是直觀上最陡的方向。我們看著是斜向上的。而爬山時梯度方向是水平的【延伸到高維就不能說水平了】，即把那個斜向上的方向投影到水平面上的方向。也就是等高線的法向量方向了。
總結，討論梯度與切向量、法向量的關係時。切法向量均是對曲線來說的，而不是整個表面法線。由於較低的梯度比曲線的尺寸的尺寸。這是需要牢記。
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