概述
動態規劃我們在工作中會經常用到，有時候你會有這個意識，而且我相信你在專案中肯定使用過，只是你不了解這種方式是「動態規劃」而已。它最大的特點就是「空間換時間「。
如果你想大致了解下，你可以直接略過細節，直接看「使用動態規劃方法求解最優鋼條切割問題」這一部分。細節部分，只是使用案例和數學公式教大家怎麼去思考問題。 舉例
a公司購買長鋼條，將其切割為短鋼條**（切割工序本身沒有成本支出），a公司想知道最佳的切割方案。
假定：給定一段長度為n公尺的鋼條。長度與**的關係為：i公尺的鋼鐵**為p
i(i=1, 2, ...)元。
求：切割鋼條方案，使得銷售收益γ
n最大。
**表的樣例如下：
問題分析
思路：通過假設法，尋找資料間的關係，進行建模。
尋找資料間的關係1:
假設n=4，窮舉所有的切割方式，找到最佳的切割方案。
不切（0刀）：最高9元
1刀：最高10元
2刀：最高7元
3刀：最高4元
從上面的圖分析得出
1） n公尺的鋼條共有2
n-1種切割方案。
2）最優策略方案為：將鋼條切割為兩段長度均為2公尺的鋼條，總價值為10。
用數學符號開始演練：（我們用加法符號表示切割，如 7 = 2 + 2 + 3，表示為長度7公尺的鋼條切割段數為3段，每段分別為：2公尺、2公尺、3公尺。）
k為最優切割鋼條方案中的段數，p
i為i公尺鋼條的**，鋼條切割的最大收益為γ
尋找資料間的關係2:
根據**錶樣例，尋找到所有最優收益值及對應的最優切個方案：
觀察資料：（總長為5公尺的鋼材最優收益是：2公尺剛才最優收益+3公尺鋼材最優收益加和。）
從上述表，我們可以得出：對於γn(n>= 1)，我們可以用更短的鋼條的最優切割收益來描述它：
對於每個i=1、2、...、n-1，方案步驟如下：
1）將鋼條切割為長度為i和n-i的兩段；
2）求解這兩段的最優切割收益γi和γn-i。——每種方案的最優收益為兩段的最優收益之和。
由於無法預知那種方案會獲得最優收益，我們必須考察所有可能的i，選取其中收益最大者。最優子結構我們稱鋼條切割問題滿足
求解簡化版本
原有方式：
簡化版本：鋼條從左邊切割下長度為i的一段，對左邊的一段i不再進行切割，只對右邊剩下的長度為n-i的一段繼續進行切割（採用了一種自頂向下的遞迴方式）
遞迴方法cut-rod如下：
分析cut-rod：實際執行中，你會發現cut-rod的效率很差。因為cut-rod反覆地用相同的引數值對自身進行遞迴呼叫，即它反覆求解相同的子問題，如下圖所示：使用 動態規劃方法求解最優鋼條切割問題
動態規劃方法的核心思想是：對每個子問題只求解一次，並將結果儲存下來。如果隨後再次需要此子問題的解，只需查詢儲存的結果，而不必重新計算。因此，動態規劃方法是付出額外的記憶體空間來節省計算時間，是典型的時空權衡的例子。
方法1：帶備忘的自頂向下法。此方法扔按自然的遞迴形式編寫，但過程會儲存每個子問題的解（通常儲存在陣列或雜湊中）。當需要乙個子問題解時，過程首先檢查是否已儲存過此解，無則計算，有則返回。
方法2：自底向上法。將子問題按規模排序，按由小至大順序求解。當求解某個子問題時，它所依賴的那些更小的子問題都已求解完畢，結果已儲存。每個子問題只需求解一次，當我們求解它時，它的所有前提子問題都已經求解完成。
子問題圖
當思考乙個動態規劃問題時，我們應該弄清所涉及的子問題及子問題之間的依賴關係。
上面舉得n=4時，鋼條切割問題的子問題圖如下：這是遞迴呼叫樹的簡化版，樹中標號相同的節點收縮為圖中的單一頂點，所有邊均從父節點指向子節點。
上面的圖中，我們可以把每個頂點向量化，標記為(x,y)。這個表示求解x的問題時候，我們需要子問題y的解。
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