動態規劃的三種解法，以POJ百煉1088滑雪為例

看到這道題目，思路肯定是有的，用樣例輸入來說，一共25個結點的矩陣。只要求出從每個點開始往下滑的最長滑行長度。然後在這25個結果裡取最大值。就是題目的答案。然後如何求出乙個結點的最大滑行長度呢。不管是遞迴的思路還是遞推的思路，都要先寫出狀態轉移方程。那麼這道題的狀態轉移方程還是比較簡單的。乙個結點的最大滑行長度為：他上下左右四個結點裡，(比他高度低的那些結點的最大滑行長度+1.)的最大值。如果乙個結點的四周沒有比他高度低的結點，那麼他的最大滑行長度為1。這就是邊界值。知道這些之後，遞迴的**就非常好寫了。但是，簡單的遞迴可能會產生非常多的重複計算，例如，你在求解數字為25的結點的結果的時候，會遞迴得去求解一遍數字為18的結點的結果，而你求解數字為19的結點的時候也會去遞迴得求解數字為18的結點的結果。因為簡單的遞迴時間複雜度會很高，一定會超時的。這就是動態規劃要解決的問題。現在問題在於許多結點被重複計算了，所以導致時間浪費。那麼我們不妨設定乙個同樣規模的result二維陣列來儲存每乙個結點的結果。二維陣列裡每乙個值都初始化為-1（最大滑行長度一定是乙個正數，所以-1是不可能的），用-1來表示該結點的結果（下文中都把每個結點的最大滑行長度簡稱為結果）還未求出。然後在遞迴函式的最前面進行一次if判斷，如果結果已經求出，那麼直接返回結果，來阻止重複計算，達到良好的時間複雜度。接下來上**

#include #include #include #include using namespace std;
void getdata(vector> &height, const int r, const int c);
int memoryrecursion(vector> &height);//記憶型遞迴解法
int recursion(vector> &height, vector>&result, int i, int j);//遞迴主體
int allforonedp(vector> &height);//人人為我型遞推
int oneforalldp(vector> &height);//我為人人型遞推
int main()
int oneforalldp(vector> &height)//我為人人型遞推
; int r = height.size();
int c = height[0].size();
vectorascend(r*c);//遞增的表排序結點
for (int i = 0; i < r*c; ++i)//初始化表 
sort(ascend.begin(), ascend.end(), [&height](const tablesort &a, const tablesort &b)->bool
);//用c++11的lambnd表示式進行快排表排序
/*開始我為人人型遞推*/
int maxlength = 0;
vector> result(height);
for (auto i = result.begin(); i != result.end(); ++i) }
/*我為人人，下標從0開始，因為每次迴圈的時候，是說明當前結點的最大長度已經求出，更新他附近的結點*/
for (size_t x = 0; x < ascend.size(); ++x)//按高度遞增的順序更新每個結點的最大滑行長度
if (ascend[x].j > 0 && height[ascend[x].i][ascend[x].j - 1] > high)//如果左邊的結點高度更高
if (ascend[x].i < r - 1 && height[ascend[x].i + 1][ascend[x].j] > high)//如果下面結點的高度更高
if (ascend[x].j < c - 1 && height[ascend[x].i][ascend[x].j + 1] > high)//如果右邊的結點高度更高
maxlength = max(maxlength, result[ascend[x].i][ascend[x].j]);//取整個滑雪道的最大值
} return maxlength;
}int allforonedp(vector> &height)//人人為我型遞推
; int r = height.size();
int c = height[0].size();
vectorascend(r*c);//遞增的表排序結點
for (int i = 0; i < r*c; ++i)//初始化表 
sort(ascend.begin(), ascend.end(), [&height](const tablesort &a, const tablesort &b)->bool
);//用c++11的lambnd表示式進行快排表排序
/*開始人人為我遞推*/
int maxlength = 1;//要初始化為1，不能初始化為0，因為下面的x迴圈是從1開始的
/*如果初始化為0，那麼當只有乙個結點時，maxlength不會被更新*/
vector> result(height);
for (auto i = result.begin(); i != result.end(); ++i) }
for (size_t x = 1; x < ascend.size(); ++x)//按高度遞增的順序求解每個結點的最大滑行長度
if (ascend[x].j > 0 && height[ascend[x].i][ascend[x].j - 1] < high)//如果左邊的結點高度更低
if (ascend[x].i < r - 1 && height[ascend[x].i + 1][ascend[x].j] < high)//如果下面結點的高度更低
if (ascend[x].j < c - 1 && height[ascend[x].i][ascend[x].j + 1] < high)//如果右邊的結點高度更低
maxlength = max(maxlength, result[ascend[x].i][ascend[x].j]);//取整個滑雪道的最大值
} return maxlength;
}int memoryrecursion(vector> &height)//記憶型遞迴解法
} for (int i = 0; i < r; ++i)
}} return maxlength;
}int recursion(vector> &height, vector>&result, int i, int j)//從i，j出發的最大長度
if (j > 0 && height[i][j - 1] < height[i][j])//如果左邊結點的高度更低
if (i < static_cast(height.size() - 1) && height[i + 1][j] < height[i][j])//如果下面結點的高度更低
if (j < static_cast(height[0].size() - 1) && height[i][j + 1] < height[i][j])
if (result[i][j] == -1) //如果四周沒有比他低的點
} return result[i][j];
}void getdata(vector> &height, const int r, const int c)
}}

可以看到，遞迴的**還是非常簡單的。memoryrecursion函式就是動態規劃自頂向下的記憶型遞迴解法。

動態規劃的三種解法，以POJ百煉1088滑雪為例

動態規劃三種寫法

LetCode PlusOne的三種解法

逆元的三種解法

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