hihoCoder 骨牌覆蓋問題 一

2021-09-07 22:15:09 字數 1622 閱讀 8867

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描述骨牌,一種古老的玩具。今天我們要研究的是骨牌的覆蓋問題:

我們有乙個2xn的長條形棋盤,然後用1x2的骨牌去覆蓋整個棋盤。對於這個棋盤,一共有多少種不同的覆蓋方法呢?

舉個例子,對於長度為1到3的棋盤,我們有下面幾種覆蓋方式:

輸入第1行:1個整數n。表示棋盤長度。1≤n≤100,000,000

輸出第1行:1個整數,表示覆蓋方案數 mod 19999997

樣例輸入

62247088
樣例輸出

17748018
當n很小的時候,我們直接通過遞推公式便可以計算。當n很大的時候,只要我們的電腦足夠好,我們仍然可以直接通過遞推公式來計算。

但是我們學演算法的,總是這樣直接列舉不是顯得很low麼,所以我們要用乙個好的演算法來加速(裝x)。

事實上,對於這種線性遞推式,我們可以用矩陣乘法來求第n項。對於本題fibonacci數列,我們希望找到乙個2x2的矩陣m,使得(a, b) x m = (b, a+b),其中(a, b)和(b, a+b)都是1x2的矩陣。

顯然,只需要取m = [0, 1; 1, 1]就可以了:

進一步得到:

那麼接下來的問題是,能不能快速的計算出m^n?我們先來分析一下冪運算。由於乘法是滿足結合律的,所以我們有:

不妨將k[1]..k[j]劃分的更好一點?

其中(k[1],k[2]...k[j])2表示將n表示成二進位制數後每一位的數字。上面這個公式同時滿足這樣乙個性質:

結合這兩者我們可以得到乙個演算法:

1. 先計算出所有的,因為該數列滿足遞推公式,時間複雜度為o(logn)

2. 將指數n二進位製化,再利用公式將對應的a^j相乘計算出a^n,時間複雜度仍然為o(logn)

則總的時間複雜度為o(logn)

這種演算法因為能夠在很短時間內求出冪,我們稱之為「快速冪」演算法。

1 #include 2 #include 3 #include 4

using

namespace

std;

56 typedef long

long

ll;7

const ll mod = 19999997;8

9struct

matrix

12 matrix operator * (const matrix &m) const

20};

2122 matrix pow(const matrix &a, int

n) else

31return

tmp;32}

3334

intmain()

41return0;

42 }

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骨牌覆蓋問題

骨牌覆蓋問題,就是用 1x2 大小的骨牌,鋪設乙個給定大小的乙個矩形區域,要求必須鋪滿,且不可以超出邊界。問總的鋪設方案數字多少?這一類問題就是骨牌覆蓋問題。不同規模的資料有不同的方法。下面來看看最簡單的 2 n 區域裡面的鋪設方法數。n 0,一種 n 1 為一種 n 2,兩種 n 3,5種 較為容...