前端也要學點資料結構神奇的樹狀陣列的三大應用

前文我們**了樹狀陣列的原理。樹狀陣列就是一種資料結構，它天生用來維護陣列的字首和，從而可以快速求得某乙個區間的和，並支援對元素的值進行修改。但是樹狀陣列並非只有這一種功能，變形後它還能衍生出兩個功能，本文我們就來分別討論下樹狀陣列這三大功能。

永遠要記住，基本的樹狀陣列維護的是陣列的字首和，所有的區間求值都可以轉化成用sum[m]-sum[n-1]來解，這點無論是在改點還是接下來要說的改段中都非常重要。

這也是樹狀陣列的基本應用。我們可以來看一下這道題敵兵布陣。

如果看了前文【前端也要學點資料結構】神奇的樹狀陣列，解法也就呼之欲出了，直接給出**：

#include#include#include#includeusing namespace std;
#define n 50005
int lowbit(int x) 
int sum[n], cnt;
void update(int index, int val) 
int getsum(int index) 
int main() 
printf("case %d:\n", cas++);
while (cin >> str) 
} return 0;
}

改段求點和改點求段恰好相反，比如有乙個陣列a = [x, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]，每次的修改都是一段，比如讓a[1]~a[5]中每個元素都加上10，讓a[6]~a[9]中每個元素都減去2，求任意的元素的值。

看例題 color the ball

跟改點求段不同，這裡要轉變乙個思想。在改點求段中，sum[i]表示ci節點所管轄的子節點的元素和，而在改段求點中，sum[i]表示ci所管轄子節點的批量統一增量。

還是看這個經典的圖：

比方說，c8管轄a1~a8這8個節點，如果a1~a8每個都染色一次，因為前面說了sum[i]表示i所管轄子節點的統一增量，那麼也就是sum[8]+=1，a5~a7都染色兩次，也就是sum[6] +=2, sum[7] +=2。如果要求a1被染色的次數，c8是能管轄到a1的，也就是說sum[8]的值和a1被染色的次數有關，仔細想想，也就是把能管轄到a1的父節點的sum值累積起來即可。兩個過程正好和改點求段相反。

完整**：

#include#include#include#includeusing namespace std;
#define n 100005
int sum[n], n;
int lowbit(int x) 
void update(int index, int val) 
}int query(int index) 
return ans;
}int main() 
for (int i = 1; i < n; i++)
printf("%d ", query(i));
printf("%d\n", query(n));
} return 0;
}

改段求段也有道經典的模板題：a ****** problem with integers

我們還是從簡單的例子入手，比如有如下陣列（a[1]=1，..a[9]=9）：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

假設我們將a[1]~a[4]這段增加5，對於我們要求的區間和來說，要麼是[1,2]這種屬於所改段的子區間，要麼是[1,8]這種屬於所改段的父區間（前面說了，所有的區間求值都可以用sum[m]-sum[n-1]來解，所以我們只考慮字首和），我們分別討論。

如果所求是類似[1,8]這種，我們可以很開心地發現，我們將區間增量(4*5)全部加在a[4]這個元素上，對結果並沒有什麼影響！於是變成了一般的改點求段。

如果所求是類似[1,2]這種，我們可以用類似改段求點中染色的思想進行處理。譬如[1,4]成段加5，如果我們要計算[1,2]的和。我們將[1,3]進行「染色」（節點4加上了4*5的權重），因為[1,3]在樹狀陣列的劃分中可以分為兩個區間，[1,2]和[3,3]，所以我們用類似改段求點對這兩塊區域進行「染色」，染上的次數為5。我們要求的是[1,2]的區間和，我們只需找2被染色的次數，因為[1,n]進行染色。如果m(1<=m<=n)被染色，那麼m的右邊肯定都被染色了。求出被染色的次數，然後乘上區間寬度，就是整段的和了。

這樣我們分別對兩種情況進行了處理，更重要的是，這兩種情況互不影響！於是我們簡單地把兩個結果相加就ok了，而這兩個過程，分別正是改點求段和改段求點！

完整**：

#include#include#includeusing namespace std;
#define n 100005
#define ll __int64
ll b[n], c[n];
int n;
int lowbit(int x) 
void update_backwards(int index, ll val) 
void update_forward(int index, ll val) 
void update(int index, ll val) 
ll query_forward(int index) 
ll query_backwards(int index) 
ll query(int index) 
//---------------- main -------------- //
int main() 
while (t--) else 
} return 0;
}

這裡有一點需要注意：一般的用陣列陣列來解的題，都是不用a[0]的，也就是元素是從a[1]~a[n]，因為sum[n~m]=sum[m]-sum[n-1]，避免n-1為負數。而本題中的改段求段中的元素是從a[2]~a[n+1]，因為update()函式中的子函式update_forward()函式中index-1不能為負，所以引數index最小是1，所以sum[n-1]中n-1最小是1，所以n最小是2，所以元素下標必須從2開始。

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