天籟數學 數列篇(3)

2021-09-08 16:27:58 字數 1800 閱讀 3879

這一篇說下第二種特徵數列,等比數列,同樣我們也應該知道它的」基本性質」,「擴充性質」和「判定方法」。

一:基本性質

1:通項公式:         an=a1qn-1

2:  前n項和公式:   sn= a1(1-qn)/(1-q)

二: 判定方法

1:  an+1/an=q (q是常數)          =>    是等比數列。

2:an=cqn                             =>    是等比數列。

3:  an+12=an*an+2                =>    是等比數列。

三:擴充性質   

1:    an=am

*qn-m;

2:   若m+n=p+q 則 aman=apaq;

3:   若是等比數列,若每隔k項取出一項,那麼取得的新數列仍是等比數列。

比如: k=3時 a1,a4,a7。

4: 若是等比數列,則arar+1, ar+2ar+3, ar+4ar+5仍然成等比數列。

比如:r=1時  則數列 a1a2,  a3a4,  a5a6成等比數列。

5:  若是等比數列,則ar+ar+1,   ar+s+ar+s+1,   ar+2s+ar+2s+1 仍成等比數列。

比如:r=1,s=10 則數列 a1+a2, a11+a12, a21+a22成等比數列。

6:  若是等比數列,sn是前n項和,則sk,s2k-sk,s3k-s2k仍成等比數列,公比為qk。

四:幾種模型問題

1: 我們知道an/an-1=q(常數)時就認為是等比數列,當q=bn時該如何處理,其實模型為an/an-1=bn。

證明:    an/a1=(an/an-1)*(an-1/an-2)*(an-2/an-3)....*(a2/a1)

=>   an/a1=bn*bn-1*bn-2......b1

=>   an=a1*(b1b2b3...bn)

則:2: 當數列的遞推模型為an=b1an-1+b2an-2

,可以看出我們現在要研究的是an,  an-1,  an-2之間的遞迴關係。

這種模型可以瞬間秒殺「斐波那契數列問題」。

求解過程如下:

①:  將an,an-1,an-2替換成x2,x,1

則得 x2=b

1x+b

2,該方程也就是的二階特徵方程,然後解出特徵根x1,x2。

②:然後將a1,a2代入an後得到一組二元一次方程,求出c1,c2,最後得到an的通項公式。

五:幾個小實際應用 

1: 斐波那契問題 

具體細節就不說了,我們直接看它的遞迴公式,當a1=1,a2=1, an=an-1+an-2。

解答: 我們用特徵方程

首先將an,an-1,an-2替換成x2,x,1,則得到 的乙個二階特徵方程為:

x2=x+1   ①

由①得(求根公式)

x1=(1-√5)/2  

x2=(1+√5)/2

因為x1!=x2,則

an=c1[(1-√5)/2]n+c2[(1+√5)/2]n   ②

又因為a1=a2=1,則

c1[(1-√5)/2]+c2[(1+√5)/2]=1        ③

c1[(1-√5)/2]2+c2[(1+√5)/2]2=1     ④

求解方程得

c1=-(√5/5)

c2=(√5/5)

將c1,c2代入②式可得

an= (-(√5/5)[(1-√5)/2])n+(√5/5)*[(1+√5)/2]n

好了,我們知道通項公式了,想怎麼秒殺就怎麼秒殺了。

天籟數學 數列篇(3)

這一篇說下第二種特徵數列,等比數列,同樣我們也應該知道它的 基本性質 擴充性質 和 判定方法 一 基本性質 1 通項公式 an a1qn 1 2 前n項和公式 sn a1 1 qn 1 q 二 判定方法 1 an 1 an q q是常數 是等比數列。2 an cqn 是等比數列。3 an 12 an...

天籟數學 數列篇(3)

這一篇說下第二種特徵數列,等比數列,同樣我們也應該知道它的 基本性質 擴充性質 和 判定方法 一 基本性質 1 通項公式 an a1qn 1 2 前n項和公式 sn a1 1 qn 1 q 二 判定方法 1 an 1 an q q是常數 是等比數列。2 an cqn 是等比數列。3 an 12 an...

天籟數學 數列篇(2)

這篇就扯一下等差數列,只要看到等差數列,就應該有條件反射的想起它的 基本性質 擴充性質 和 判定方法 之後俺們就可以對 相應的題目進行秒殺。一 基本性質 1 通項公式 an a1 n 1 d 2 前n項和公式 sn n a1 an 2 sn na1 nd n 1 2 二 判定方法 1 an 1 an...