天籟數學 數列篇(2)

2022-02-18 08:43:46 字數 2638 閱讀 5967

這篇就扯一下等差數列,只要看到等差數列,就應該有條件反射的想起它的」基本性質」,「擴充性質」和「判定方法」,之後俺們就可以對

相應的題目進行秒殺。

一:基本性質

1:通項公式:         an=a1+(n-1)d;

2:  前n項和公式:    sn=n(a1+an)/2;

sn=na1+nd(n-1)/2;

二: 判定方法

1:  an+1 -an=d(常數)          =>    是等差數列。

2:2an+1=an+an+2           =>    是等差數列。

3:  an=kn+b (k,b為常數)      =>    是等差數列。 當然這個是將通項公式變形為一次函式,原型為: an=nd+(a1+d)。

4:sn=an2+bn(a,b為常數)  =>    是等差數列。 原理同上,將前n項和公式變形為一元二次函式。

三:擴充性質

1:  an=am+(n-m)d              => 這個公式得益於an和am的通向公式相減。 

比如:a9=a7+2d。

2:  若m+n=l+r                    => am+an=al+ar。      

比如:a1+a8=a2+a7。

3: (n+1)an-nan=d(常數)     =>  是等差數列。

4: 若an為等差數列,則數列(λ,b為常數)是公差為λd的等差數列。

比如: 的數列公差為3d。

5:  若an,bn都為等差數列,則(λ1,λ2為常數)是公差為λ1d1+λ2d2的等差數列。

比如:的數列公差為2d1+3d2。

6: 若an為等差數列,則 ak,ak+m,ak+2m也仍然為等差數列,公式為md。

四:幾種模型問題

1: 我們知道an-an-1=d(常數)就認為是是等差數列,當d=bn這樣的乙個變數的時候該如何處理,模型為an-an-1=bn。

證明:  由倒序相加法逆推可知,an-a1=(an-an-1)+(an-1-an-2)+...+(a2-a1)

具體的例子有: 若a1=1,an=an-1+4n,求an的問題。

2:數列的一階特徵方程【對an=pan-1+q(p!=+-1,q!=0)】的遞推公式的通用解法

比如」猴子吃桃「問題的通項公式為:a

n=2a

n-1+2的通用解法如下:

①:通過模型對比,可知: p=2,q=2。

②:將an,an-1替換為x。求出數列的特徵根x。

則    x=2x+2

=>  x=-2

③:代入an的通用模型公式:     an-x=(a1-x)pn-1

=>     an+2=(1+2)*2n-1

=>     an=3*2n-1-2  (哈哈,是不是很神奇,對這種模型我們現在有了通用解法,秒殺秒殺)

五:幾個小實際應用

有了這些神器,等差數列的問題相信我們有了比較紮實的基礎了,已經不怕不怕了。

1:甲乙兩個物體分別從相距70m的兩處同時相向運動,甲第1min走2m,以後每分鐘比前1min多走1m,乙每分鐘走5m。

(1)  甲乙開始運動後幾分鐘相遇。 

(2)  如果甲乙達到對方起點後立即折返,甲繼續每分鐘比前1min多走1m,乙繼續每分鐘走5m,那麼開始運動幾分鐘後

第二次相遇。

解答:<1>     其實第一小題如果看的出來是等差數列,那麼這個問題基本就解決出來一半了。

甲: 其實是a1=2,d=1的等差數列,則甲在nmin內走了 2n+n(n-1)/2。

乙: 在nmin內走了5n。

=>  2n+n(n-1)/2+5n=70

=> n=7 or n=-20(捨去)

最後我們知道在min=7的時候第一次相遇。

<2>     將n=7代入甲可知a7=8,則第二次相遇時以a8=9為首項,記為bn。

則甲在這kmin內運動距離和為: 9k+k(k-1)/2。

則乙在kmin內運動距離還是為5k。

=> 9k+k(k-1)/2+5k=70*2

=> k=8 or k=-35(舍)

當然這個問題我們也可以用code去實現,當然什麼樣的知識程度決定了複雜度。

2:用分期付款的方式購買了家用電器一件,**為1150元,購買當天先付150元,以後每月這一天都付50元,並加付欠款利息,

月利息1%,利息不計入欠款,若交付150元以後的第乙個月開始算分期付款的第乙個月,問全部付款完後,買這件家電實際

花了多少錢?

解答:當然這套題仔細一分析還是一套等差數列的題目,付了150元後,餘款的1000需要分期付款,每月50元,所以20次就可以付

清了,我們只要求s20即可。

a1=50+1000 * 0.1=60

a2=50+(1000-50)=59.5

an=50+(1000-(n-1)*50)

則是以a1=60,d=-0.5為公差的等差數列。 

則 s總=s20+150=+150=1255

最後我們也就得出了全部付款後需要總額1255元。

關於等差數列的實際應用太多太多,平時練習的題目都是直接揭露本質,不被這些文字糖所包裹...

天籟數學 數列篇(2)

這篇就扯一下等差數列,只要看到等差數列,就應該有條件反射的想起它的 基本性質 擴充性質 和 判定方法 之後俺們就可以對 相應的題目進行秒殺。一 基本性質 1 通項公式 an a1 n 1 d 2 前n項和公式 sn n a1 an 2 sn na1 nd n 1 2 二 判定方法 1 an 1 an...

天籟數學 數列篇(3)

這一篇說下第二種特徵數列,等比數列,同樣我們也應該知道它的 基本性質 擴充性質 和 判定方法 一 基本性質 1 通項公式 an a1qn 1 2 前n項和公式 sn a1 1 qn 1 q 二 判定方法 1 an 1 an q q是常數 是等比數列。2 an cqn 是等比數列。3 an 12 an...

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