異或: 相同則為0, 不同則為1
與: 有乙個為0, 結果為0
以下符號說明
•表示一種運算
+ 表示加法運算,
* 表示乘法運算
這裡的加法和乘法都是一種運算, 並不是特指整數中的加法和乘法
設g是乙個非空集合, 且存在一種運算"•".如果它滿足:
(1)結合律: ( a • b ) • c = a • ( b • c )
(2)存在恒等元e: e • a = a • e = a
(3)存在逆元素: a • b = b • a = e
則稱g為群, 如果•為加法, 則稱為加法群
舉例,對於整數中的加法運算來說,
e=0, 很顯然滿足以下條件
( a + b ) + c = a + ( b + c)
0 + a = a + 0 = a
a + (-a) = (-a) + a = 0
對於實數中的乘法法運算來說,
e = 1
( a * b ) * c = a * ( b * c )
1 * a = a * 1 = a
a * 1/a = 1/a * a = 1
整數, 是乙個加法群, 但不是乘法群, 因為沒有乘法逆元
設r有兩種運算操作,分別為+, *, 即加法操作和乘法操作, 並且是乙個加法群, 且滿足以下條件
( a * b ) * c = a * ( b * c )
分配律a * ( b + c ) = a * b + a * c
( b + c ) * a = b * a + c * a
則稱r為環
顯然, 整數, 實數, 複數都是環
如果環還滿足以下條件
a * b = b * a
則稱為交換環
如果交換環還滿足以下條件
(1)存在e元素: e • a = a • e = a
(2)存在逆元素: a • b = b • a = e
那就稱為域
整數不是乙個域
如果果域中的元素是有限的, 則稱為有限域, 設它的元素的個數為n
特性:有限域的元素的個數必為乙個素數. (不清楚為什麼, 估摸著是跟費馬小定理有關)
對於乘法恒等元e1和加法恒等元e0,
e1 + e1 + e1 + … + e1 = e0 , (即n個e1相加)
以同餘運算為例, 設a mod p, b mod p, c mod p分別為a, b, c對p的取模
它的加法規則如下
( a mod p ) + ( b mod p ) = ( a + b ) mod p
顯然, 加法操作滿足域的定義
它的乘法規則如下
( a mod p ) * ( b mod p ) = (a * b ) mod p
顯然, 乘法操作滿**換律
以下用%代替mod符號
加法恒等元為0%p
乘法恒等元為1%p
取乙個質數, 假設為11, 那麼這樣的乙個數集(取p=11)
先看看它滿足哪些特性, 以下用%代替mod
11個1%11相加, 結果為11%11, 等於0%11
每個非零元素都有逆元, 如
1%11 * 1%11 = 1%11
2%11 * 6%11 = 12%11 = 1%11
3%11 * 4%11 = 12%11 = 1%11
5%11 * 9%11 = 45%11 = 1%11
7%11 * 8%11 = 56%11 = 1%11
10%11 * 10%11 = 100%11 = 1%11
即就是從1到10的每個元素都存在乘法逆元. (好奇妙)
再看乙個極端的例子, 取p=2
看加法的性質
1%2 + 1%2 = 0%2
0%2 + 0%2 = 0%2
1%2 + 0%2 = 1%2
加法規律是: 相同為0, 不同為1, 計算機上稱這個運算為異或運算
再看乘法的性質
1%2 * 1%2 = 1%2
0%2 * 0%2 = 0%2
1%2 * 0%2 = 0%2
乘法規律是: 其中乙個元素為0, 則結果為0, 計算機上稱這個運算為與運算
gf(q)的定義:
q = pn, p為素數
它的元素用一堆多項式來表達.
即由進行各種組合.
它的加法運算規則非常特殊, 為同次項的係數進行異或運算, 然後再對乙個n次多項式m取模
它的乘法運算規則, 先按普通的多項式乘法, 然後再對乙個n次多項式m取模
這樣的多項式m, 稱為本原多項式, 它是怎麼找出來的?我也不知道, 靠列舉?靠猜?, 反正網上可以找到一此已經計算好的
舉例說明
設p=2, n=3, 那麼 進行各種組合之後, 再加上零0, 得到乙個gf(8)
m = x3 + x + 1 . (這是別人已經找好的)
加法運算規則舉例
現在驗證加法運算(其實是異或運算)
x + x = 0 (係數相同, 值為0), 逆運算就 0 - x = x , 即-x=x,也就是說, gf(q)中元素的加法逆元就是它本身
x + x + 1 = 1
x + x2 = x2 + x
x + x2 + x = x2
乘法運算規則舉例
x * ( x2 + 1 ) % m = (x3 + x) %m = ( (x3 + x + 1) + 1 ) %m = 1
( x + 1 ) * ( x2 + x ) % m = ( x3 + x2 + x2 + x ) %m = (x3 +x ) %m = ( x3 + x + 1 + 1) %m = 1
同理有x2 * ( x2 + x + 1 ) %m = 1
可以看出, 每個非零元素都有乘法逆元
用計算機中的bit來表示
x2 + x1 + x0 表示為 111
x2 表示為 100
x1 表示為 010
那麼gf(8)可以寫成
m = 1011
010 * 101 = 001
011 * 110 = 001
100 * 111 = 001
1個位元組8bit, 可以生成gf(28)域
它的本原多項式為x8 + x4 + x3 + x + 1
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在這篇隨筆裡面提到伽羅瓦域。參考了很多資料，才知道伽羅瓦域原來還可以用指數表作為基本表，就得到了乙個乘法優化的有限域運算。但是加法恆元和乘法恆元不再是0和1。對此表示很無奈，計算係數時候，習慣性的用0作為初始值開始求和。結果方程組怎麼解都不對！折騰了半小時，才找到根源。但是乘法優化使得加減法的代價高...
《伽羅瓦理論》筆記5
模p法 對於多項式 f x 我們經常要求其在 mathbb 上的伽羅瓦群 text f x mathbb 模 p 法告訴我們，我們可以通過求 f x 在 p 元域上的伽羅瓦群 text f x mathbb p 得到 text f x mathbb 的資訊。其核心思想是 定理設 f x 是首一無重根...
抽象代數筆記 環 域 擴域 伽羅瓦理論
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