rsa加密演算法是最常用的非對稱加密演算法，由羅納德·李維斯特（ron rivest）、阿迪·薩莫爾（adi shamir）和倫納德·阿德曼（leonard adleman）於2023年一起提出，rsa就是他們三人姓氏開頭字母拼在一起組成的。非對稱加密演算法的特點就是加密秘鑰和解密秘鑰不同，秘鑰分為公鑰和私鑰，用私鑰加密的明文，只能用公鑰解密；用公鑰加密的明文，只能用私鑰解密。
rsa是第乙個比較完善的公開金鑰演算法，它既能用於加密，也能用於數字簽名。這個演算法經受住了多年深入的密碼分析，雖然密碼分析者既不能證明也不能否定rsa的安全性，但這恰恰說明該演算法有一定的可信性，目前它已經成為最流行的公開金鑰演算法。rsa的安全基於大數分解的難度。其公鑰和私鑰是一對大素數（100到200位十進位制數或更大）的函式。從乙個公鑰和密文恢復出明文的難度，等價於分解兩個大素數之積（這是公認的數學難題）。
首先複習一下數學上的幾個基本概念，它們在後面的介紹中要用到：
一、 什麼是「素數」？
素數是這樣的整數，它除了能表示為它自己和1的乘積以外，不能表示為任何其它兩個整數的乘積。例如，15＝3＊5，所以15不是素數；又如，12＝6＊2＝4＊3，所以12也不是素數。另一方面，13除了等於13＊1以外，不能表示為其它任何兩個整數的乘積，所以13是乙個素數。素數也稱為「質數」。
二、什麼是「互質數」（或「互素數」）？
小學數學教材對互質數是這樣定義的：「公約數只有1的兩個數，叫做互質數。」這裡所說的「兩個數」是指自然數。
判別方法主要有以下幾種（不限於此）：
（1）兩個質數一定是互質數。例如，2與7、13與19。
（2）乙個質數如果不能整除另乙個合數，這兩個數為互質數。例如，3與10、5與 26。
（3）1不是質數也不是合數，它和任何乙個自然數在一起都是互質數。如1和9908。
（4）相鄰的兩個自然數是互質數。如 15與 16。
（5）相鄰的兩個奇數是互質數。如 49與 51。
（6）大數是質數的兩個數是互質數。如97與88。
（7）小數是質數，大數不是小數的倍數的兩個數是互質數。如 7和 16。
（8）兩個數都是合數（二數差又較大），小數所有的質因數，都不是大數的約數，這兩個數是互質數。如357與715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的約數，這兩個數為互質數。等等。
三、什麼是模指數運算？
指數運算誰都懂，不必說了，先說說模運算。模運算是整數運算，有乙個整數m，以n為模做模運算，即m mod n。怎樣做呢？讓m去被n整除，只取所得的餘數作為結果，就叫做模運算。例如，10 mod 3=1；26 mod 6=2；28 mod 2 =0等等。
模指數運算就是先做指數運算，取其結果再做模運算。如(5^3) mod 7 = (125 mod 7) = 6。
接下來正式講解rsa加密演算法。
四、rsa演算法描述
rsa的公鑰、私鑰的組成，以及加密過程、解密過程的公式可見於下表：
公鑰ku
n：兩素數p和q的乘積（p和q必須保密）（n為模值）
e：與(p-1)*(q-1)互質（e稱為公鑰指數）
私鑰kr
n：兩素數p和q的乘積（p和q必須保密）（n為模值）
d：滿足(d*e) mod ((p-1)*(q-1)) = 1（d稱為私鑰指數）
加密過程
c=m^e mod n （c為密文）
解密過程
m=c^d mod n （m為明文）
其中，符號^表示數學上的指數運算；mod表示模運算，即相除取餘數。具體演算法步驟如下：
（1）選擇一對不同的、足夠大的素數p，q。
（2）計算n=p*q。
（3）計算f(n)=(p-1)*(q-1)，同時對p, q嚴加保密，不讓任何人知道。
（4）找乙個與f(n)互質的數e作為公鑰指數，且1五、例項描述
本文不對rsa演算法的正確性作嚴格的數學證明，我們通過乙個簡單的例子來理解rsa的工作原理。為了便於計算。在以下例項中只選取小數值的素數p,q,以及e，假設使用者a需要將明文「key」通過rsa加密後傳遞給使用者b，過程如下：
（1）設計公私金鑰(e,n)和(d,n)。
令p=3，q=11，得出n=p×q=3×11=33；f(n)=(p-1)(q-1)=2×10=20；取e=3，（3與20互質）則e×d mod f(n) = 1，即3×d mod 20 =1。
d怎樣取值呢？可以用試算的辦法來尋找。試算結果見下表：
通過試算我們找到，當d=7時，e×d mod f(n) = 1等式成立。因此，可令d=7。從而我們可以設計出一對公私金鑰，加密金鑰（公鑰）為：ku =(e,n)=(3,33)，解密金鑰（私鑰）為：kr =(d,n)=(7,33)。
（2）英文數位化。
將明文資訊數位化，並將每塊兩個數字分組。假定明文英文本母編碼表為按字母順序排列數值，即：
則得到分組後的key的明文資訊為：11，05，25。
（3）明文加密
使用者加密金鑰(3,33) 將數位化明文分組資訊加密成密文。由c=m^e mod n得：
m1 = c1^e mod n = 11^3 mod 33 = 11
m2 = c2^e mod n = 5^3 mod 33 = 26
m3 = c3^e mod n = 25^3 mod 33 = 16
因此，得到相應的密文資訊為：11，26，16。
（4）密文解密
使用者b收到密文，若將其解密，只需要計算m=c^d mod n，即：
c1 = m1^d mod n = 11^7 mod 33 = 11
c2 = m2^d mod n = 26^7 mod 33 = 5
c3 = m3^d mod n = 16^7 mod 33 = 25
使用者b得到明文資訊為：11，05，25。根據上面的編碼表將其轉換為英文，我們又得到了恢復後的原文「key」。
當然，實際運用要比這複雜得多，由於rsa演算法的公鑰私鑰的長度（模長度）要到1024位甚至2048位才能保證安全，因此，p、q、e的選取、公鑰私鑰的生成，加密解密模指數運算都有一定的計算程式，需要仰仗計算機高速完成。
六、rsa的安全性
首先，我們來**為什麼rsa密碼難於破解？
在rsa密碼應用中，公鑰ku是被公開的，即e和n的數值可以被第三方竊聽者得到。破解rsa密碼的問題就是從已知的e和n的數值（n等於pq），想法求出d的數值，這樣就可以得到私鑰來破解密文。從上文中的公式：(d*e) mod ((p-1)*(q-1)) = 1，我們可以看出，密碼破解的實質問題是：從p*q的數值，去求出(p-1)和(q-1)。換句話說，只要求出p和q的值，我們就能求出d的值而得到私鑰。
當p和q是乙個大素數的時候，從它們的積p*q去分解因子p和q，這是乙個公認的數學難題。比如當p*q大到1024位時，迄今為止還沒有人能夠利用任何計算工具去完成分解因子的任務。因此，rsa從提出到現在已近二十年，經歷了各種攻擊的考驗，逐漸為人們接受，普遍認為是目前最優秀的公鑰方案之一。
缺點1：雖然rsa的安全性依賴於大數的因子分解，但並沒有從理論上證明破譯rsa的難度與大數分解難度等價。即rsa的重大缺陷是無法從理論上把握它的保密性能如何。
下表列出了對同一安全級別所對應的金鑰長度。
保密級別
對稱金鑰長度（bit）
rsa金鑰長度（bit）
ecc金鑰長度（bit）
保密年限
缺點2：從上邊可以看出，同樣安全級別的加密演算法，rsa需要更長的金鑰。這就使運算速度較慢，較對稱密碼演算法慢幾個數量級。且隨著大數分解技術的發展，這個長度還在增加，不利於資料格式的標準化。
缺點3：rsa產生金鑰很麻煩，受到素數產生技術的限制，因而難以做到一次一密。
因此，使用rsa只能加密少量資料，大量的資料加密還要靠對稱密碼演算法。實際應用中一般用來加密對稱演算法的金鑰，而密文多用對稱加密演算法加密傳輸。
七、rsa1024/2048
rsa演算法金鑰長度的選擇是安全性和程式效能平衡的結果，金鑰長度越長，安全性越好，加密解密所需時間越長。實際中常使用1024bit秘鑰和2048bit秘鑰，分別稱為rsa1024和rsa2048。秘鑰包含公鑰和私鑰，即公鑰私鑰長度一樣，都是1024bit或2048bit。rsa幾個特性如下：
1.金鑰長度增長一倍，公鑰操作所需時間增加約4倍，私鑰操作所需時間增加約8倍，公私鑰生成時間約增長16倍。
2. 一次能加密的密文長度與金鑰長度成正比， len_in_byte(raw_data) = len_in_bit(key)/8 -11，如1024bit的金鑰，一次能加密的內容長度為 1024/8 -11 = 117 byte。所以非對稱加密一般都用於加密對稱加密演算法的金鑰，而不是直接加密內容。
3. 加密後密文的長度為金鑰的長度，如金鑰長度為1024bit(128byte)，最後生成的密文固定為 1024bit(128byte)。
關於rsa金鑰長度、明文長度和密文長度請參考：rsa金鑰長度、明文長度和密文長度。
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RSA 非對稱加密演算法
1.對稱加密 甲方選擇某一種加密規則，對資訊進行加密 乙方使用同一種規則，對資訊進行解密。非對稱加密 乙方生成兩把金鑰 公鑰和私鑰 公鑰是公開的，任何人都可以獲得，私鑰則是保密的。甲方獲取乙方的公鑰，然後用它對資訊加密。乙方得到加密後的資訊，用私鑰解密。2.尤拉定理 rsa演算法的核心 可以大大簡化...
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