加密演算法分為對稱加密演算法和非對稱加密演算法，其中非對稱加密演算法作為計算機通訊安全的基石，在保證資料安全方面起著重要的作用。而相對於對稱加密演算法的易理解性，非對稱加密演算法存在一定的難度。下面通過對rsa演算法的剖析，讓我們更好的理解非對稱加密演算法的原理。
1、對稱加密演算法
對稱加密演算法：加密和解密都使用同樣規則（金鑰）的演算法。
(1)、a選擇某一種規則對資訊進行加密；
(2)、b使用同一規則(逆規則)對資訊進行解密；
2、非對稱加密演算法
非對稱加密演算法：加密和解密可以使用不同的規則，只要這兩種規則之間存在某種對應關係即可。
(1)、b根據演算法生成兩把金鑰（公鑰和私鑰），其中私鑰是保密的，公鑰是公開的，供要與b通訊的其它人使用；
(2)、a從b處獲取公鑰，並用它來加密；
(3)、b得到a加密後的資訊，用私鑰進行解密，完成通訊；
1、互質關係
互質又稱為互素，如果兩個或兩個以上的整數的最大公約數是 1，則稱它們為互質。比如7和10，他們最大的公約數是1，所以他們互質。8和10最大的公約數是2，所以他們不是互質。並不是只有兩個質數才能形成互質。
根據互質關係，可以得出以下結論（後面尤拉函式會用到）：
2、尤拉函式
尤拉函式指的是對正整數n，求小於或等於n的正整數中與n互質的數的數目，記作φ(n)。比如1至10中，與10形成互質關係的有1，3，7，9，所以φ(10)=4。
尤拉函式通用公式為（除n=1外，φ(1)=1）：
\[φ(n)=n(1-\frac)(1-\frac)......(1-\frac)
\\n=^*^......^，其中p_1、p_2......p_r為質數
\]比如φ(20)=8計算過程如下：
\[φ(20)=φ(2^2\times5)=20(1-\frac)(1-\frac)=8
\]尤拉函式證明如下：
因為1與任何數都構成互質關係，則 φ(1) = 1 。
因為質數與小於它的每乙個數，都構成互質關係，則φ(n) =n-1。如φ(5)=5-1=4。
因為質數的某個次方與除與質數的倍數外都形成互質關係，而質數的倍數1 * p、2 * p、3 * p、……、p^(k-1) * p，即有p^(k-1)個，則
\[φ(p^k) =p^k-p^=p^k(1-\frac)，如φ(5^3)=5^3(1-\frac)=100。
\]該定理用到中國剩餘定理即可證明，具體過程可參考其它文件。如φ(15)=φ(3 * 5)=φ(3) φ(5) =2 * 4 =8。
根據以上推論，因為任意乙個大於1的正整數，都可以寫成一系列質數的積，可以推導出當n為大於1的整數時：
\[n=^^...^
\]\[φ(n)=φ(^^...^)
\]\[φ(n)=φ(^)φ(^)...φ(^)
\]\[φ(n)=^(1-\frac)^(1-\frac)...^(1-\frac)
\]\[φ(n)=^^...^(1-\frac)(1-\frac)(1-\frac)
\]\[φ(n)=n(1-\frac)(1-\frac)...(1-\frac)
\]以上即為尤拉函式的通用計算公式。
3、尤拉定理
尤拉定理也稱費馬-尤拉定理，指的是：如果兩個正整數a和n互質，則n的尤拉函式 φ(n) 可以讓下面的等式成立。
\[a^=1(mod\ n)
\]即a的φ(n)次方被n除的餘數為1，或者說a的φ(n)次方減1，能被n整除。如7和5互質
\[7^-1=7^4-1=2401-1=2400，可以被5整除
\]4、模反元素
如果兩個正整數a和n互質，那麼一定可以找到整數b，使得 ab-1 被n整除，或者說ab被n除的餘數是1。這時，b就叫做a的模反元素。證明如下：
\[a^=a\times a^ = 1(mod\ n)，其中a^就是a的模反元素
\]1、生成金鑰對（公鑰和私鑰）
本例中公鑰為（n，e) = (55 , 17)，私鑰為（n，d) = (55 ，33) ，僅（n，e) =(55 , 17)是公開的，其餘數字均不公開。可以想像如果只有 n 和 e，如何推導出 d，目前只能靠暴力破解，位數越長，暴力破解的時間越長。
2、加密生成密文
對明文z採用公鑰（n，e)進行加密，其中明文必須轉換為數字，且必須比n小。加密的公式如下：
\[z^e=c(mod\ n)
\]其中z為明文，n和e為公鑰，c為加密後的密文，所以c可以轉換為：
\[c=z^e \% n
\]假如明文為15，公鑰（n，e) = (55 , 17)，則加密後的密文c為：
\[c=15^\%55=5
\]3、解密生成明文
對密文c採用公鑰（n，d)進行解密，解密的公示如下：
\[c^d=z(mod\ n)
\]其中c為密文，n和d為私鑰，z為解密後的明文，所以z可以轉換為：
\[z=c^d\%n
\]根據上述條件，密文c為5，私鑰（n，d) = (55 ，33) ，則解密後的明文z為：
\[z=5^\%55=15
\]1、有效性問題
根據上述rsa演算法示例，要驗證rsa演算法的有效性，即驗證根據加密公式：
\[z^e=c(mod\ n)
\]可以推導出，解密公式是有效的：
\[c^d=z(mod\ n)
\]2、證明過程
根據加密規則，可以推導出：
\[c= z^e - kn
\]將上述式子代入解密公式，即求證以下式子成立：
\[(z^e-kn)^d = z(mod\ n)
\]\[z^ = z(mod\ n)
\]rsa演算法的安全性，是基於目前的條件下，在空間和時間上，無法對它進行有效破解。
根據上述推導，rsa演算法用到a、b、n、m、e、d六個數字。其中公鑰(n，e)是公開的，其餘的4個數字是保密的。其中金鑰d是演算法的核心。
目前對於大數的因數分解，除了暴力破解，沒有更好的途徑。以現有的計算資源和能力，目前能被破解的最長rsa金鑰就是768位，所以只要保證rsa金鑰是1024位及以上，即可保證演算法的安全性。
1、rsa演算法流程
2、rsa演算法安全性
目前對於大數的因數分解，除了暴力破解，沒有更好的途徑。以現有的計算資源和能力，目前能被破解的最長rsa金鑰就是768位，所以只要保證rsa金鑰是1024位及以上，即可保證演算法的安全性。
3、rsa演算法應用
在rsa演算法中，公鑰(n,e) 只能加密小於n的整數。對於大於n的整數，可以採用兩種方法。一是把長資訊分割成若干段短訊息，每段分別加密；另一種是先選擇一種對稱性加密演算法加密資訊，再用rsa公鑰加密對稱性加密演算法的金鑰。
另外，由於rsa演算法效能問題，通常加解密都比較慢，所以通常和對稱性加密演算法一起配合使用。
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