證明從n個數中,取出3個整數的不同組合的總數為n(n-1)(n-2)/6
提示 使用數學歸納法
最簡單和常見的數學歸納法是證明當n等於任意乙個自然數時某命題成立。證明分下面兩步：
證明當n= 1時命題成立。
假設n=m時命題成立，那麼可以推導出在n=m+1時命題也成立。（m代表任意自然數）
這種方法的原理在於：首先證明在某個起點值時命題成立，然後證明從乙個值到下乙個值的過程有效。當這兩點都已經證明，那麼任意值都可以通過反覆使用這個方法推導出來。把這個方法想成多公尺諾效應也許更容易理解一些。
例如：你有一列很長的直立著的多公尺諾骨牌，如果你可以：
證明第一張骨牌會倒。
證明只要任意一張骨牌倒了，那麼與其相鄰的下一張骨牌也會倒。
骨牌乙個接乙個倒下就如同乙個值接下乙個值
骨牌乙個接乙個倒下就如同乙個值接下乙個值
那麼便可以下結論：所有的骨牌都會倒下
解題要點
數學歸納法對解題的形式要求嚴格，數學歸納法解題過程中，
第一步：驗證n取第乙個自然數時成立
第二步：假設n=k時成立，然後以驗證的條件和假設的條件作為論證的依據進行推導，在接下來的推導過程中不能直接將n=k+1代入假設的原式中去。
最後一步總結表述。
證明1:數學歸納法(1)假設n=2和n=3
從2個整數中,取2個整數的總數只有1種,符合21/2=1
從3個整數中,取2個整數的總數3種,32/2=3種,符合
(2)假設a從n個整數中取出2個整數的不同組合的總數為n(n-1)2
那麼從n+1個整數中取出2個整數的不同組合的總數可以分成兩部分
一部分是從n個整數中取出2個整數的不同組合的總數為n(n-1)2
另一部分是必須包含第n+1元素,另外乙個元素可以隨意取的情況(範圍從1到n),那麼這一部分的數量為n
把上述兩個部分相加得到
從n+1個整數中取出2個整數的不同組合的總數為n(n-1)/2+n=n(n+1)/2
(3)而假設二a中f(n)=n(n-1)/2;f(n+1)=(n+1)*2/2
上面兩者是相等的,因此數學歸納法就可以得出證明從n個數中,取出2個整數的不同組合的總數為n(n-1)2
分割下(1)假設n=3和n=4
從3個整數中,取3個整數的總數只有1種,符合321/6=1
從4個整數中,取3個整數的總數4種,符合432/6=4
比如有數字1,2,3,4.那麼只有4種可能(1,2,3);(1,2,4);(1,3,4);(2,3,4)
(2)假設b從n個數中,取出3個整數的不同組合的總數為n(n-1)(n-2)/6
那麼從n+1個整數中取出3個整數的不同組合的總數可以分成兩部分
第一部分:不包含第n+1元素的,有f(n)即假設b…f(n)=n(n-1)(n-2)/6個
第二部分:包含第n+1元素的,那麼另外2個數只能從n個元素中取,即第一步我們證明的結論:從n個數中,取出2個整數的不同組合的總數為n(n-1)2
把上述的一二部分相加n(n-1)(n-2)/6+n(n-1)/2=(n的三次方-n)/6
(3)根據假設f(n)=n(n-1)(n-2)/6,那麼
f(n+1)=(n+1)n(n-1)/6,
上面兩者是相等的,因此數學歸納法就可以得出證明從n個數中,取出3個整數的不同組合的總數為n(n-1)(n-2)/6
證明方法2combine，組合，不分順序，組合比排列所取得的種數更少。如5取3，c(5,3)=5!/(3!(5-3)!)=5!/(3!2!)=(543)/(321)
arrange，排列，區分順序，因而排列比組合取得的種數更多。比如5取3。a(5,3)=5!/(5-3)!=5!/2!=543
公式：n>m,即從n中取m個
排列：a(n,m)=n!/(n-m)!
組合：c(n,m)=n!/(m!*(n-m)!) 即c(n,m)=a(n,m)/m!
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