線段樹模板（1）

本篇只對線段樹的基本應用介紹：即整區間單次改變，區間求和，單點改變和區間改變乙個道理，只把區間變成點。

剩下的線段樹知識點類似：區間求逆序對，區間多次改變（同時+，再*或者/或者-），區間（合併，交），區間過大在改變時對p取模等放在後面學習給出。

若只是需要求區間和或者單點改變，樹狀陣列是個好的選擇，但是其他的就老老實實線段樹了。線段樹由於本身是專門用來處理區間問題的（包括rmq、rsq問題等）。

線段樹只是乙個樹的結構（完全二叉樹），和樹本身沒有關係。

線段樹的空間要開4倍最大的空間，用來存樹的結構。

對於每乙個子節點而言，都表示整個序列中的一段子區間；對於每個葉子節點而言，都表示序列中的單個元素資訊；子節點不斷向自己的父親節點傳遞資訊，而父節點儲存的資訊則是他的每乙個子節點資訊的整合。說到底就是運用分塊的思想，用於達到o(logn)級別的處理速度，log以2為底。

觀察上圖可以得出，左孩子編號是i*2，右孩子編號是i*2+1,（完全二叉樹）；

二進位制位左移一位代表著數值∗2，而如果左移完之後再或上1，由於左移完之後最後一位二進位制位上一定會是0，所以∣1等價於+1

#define lson l,m,rt<<1 //lson表示rt節點的左孩子

#define rson m+1,r,rt<<1|1 //rson表示右孩子後面會多次用到，可以先預處理

先介紹pushup函式，根據二叉樹的特性，從下到上維護，pushup操作的目的是為了維護父子節點之間的邏輯關係。當我們遞迴建樹時，對於每乙個節點我們都需要遍歷一遍，並且電腦中的遞迴實際意義是先向底層遞迴，然後從底層向上回溯，所以開始遞迴之後必然是先去整合子節點的資訊，再向它們的祖先回溯整合之後的資訊。

void pushup(ll rt)

由此得到建樹，由於二叉樹自身的父子節點之間的可傳遞關係，所以可以考慮遞迴建樹（，並且在建樹的同時，我們應該維護父子節點的關係。

void build(ll l,ll r,ll rt)
ll m=(l+r)>>1;
build(lson);
build(rson);
pushup(rt); //此處由於我們是要通過子節點來維護父親節點，所以pushup的位置應當是在回溯時。
}

再說下成段更新，把乙個區間的數全+k,這裡引出線段樹第乙個難點，需要用到延遲標記(或者說懶惰標記),簡單來說就是每次更新的時候不要更新到底,用延遲標記使得更新延遲到下次需要更新 or 詢問到的時候。

我們就需要在每次區間的查詢修改時pushdown一次，以免重複或者衝突或者**。

那麼對於pushdown而言，其實就是純粹的pushup的逆向思維(但不是逆向操作)：因為修改資訊存在父節點上，所以要由父節點向下傳導lazy tag。

void pushdown(ll rt,ll z)
}void updata(ll nl,ll nr,ll k,ll l,ll r,ll rt)
pushdown(rt,r-l+1); 
//回溯之前（也可以說是下一次遞迴之前，因為沒有遞迴就沒有回溯） 
//由於是在回溯之前不斷向下傳遞，所以自然每個節點都可以更新到 
ll m = (l+r)>>1;
if(nl<=m) updata(nl,nr,k,lson);
if(nr>m) updata(nl,nr,k,rson);
pushup(rt);//回溯之後維護父節點
}

區間查詢：和區間改變差不多思想，都是用分塊的方式，不斷遞迴

ll query(ll nl,ll nr,ll l,ll r,ll rt)	
pushdown(rt,r-l+1);//看看有沒有之前懶得沒改的
ll m = (l+r)>>1; 
if(nl <= m) ans+=query(nl,nr,lson);
if(m < nr) ans+=query(nl,nr,rson);
return ans;
}

最後給出模板：

#includeusing namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn = 1e5+10;
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
ll a[maxn],lazy[maxn<<2],sum[maxn<<2],maxs[maxn<<2];
ll n,m;
void pushup(ll rt)
void pushdown(ll rt,ll z)
}void build(ll l,ll r,ll rt)
ll m=(l+r)>>1;
build(lson);
build(rson);
pushup(rt); 
}void updata(ll nl,ll nr,ll k,ll l,ll r,ll rt)
pushdown(rt,r-l+1);
ll m = (l+r)>>1;
if(nl<=m) updata(nl,nr,k,lson);
if(nr>m) updata(nl,nr,k,rson);
pushup(rt);
}ll query(ll nl,ll nr,ll l,ll r,ll rt) 
pushdown(rt,r-l+1);
ll m = (l+r)>>1; 
if(nl <= m) ans+=query(nl,nr,lson);
if(m < nr) ans+=query(nl,nr,rson);
return ans;
}int main()else if(w==2)
} return 0;
}

樣例測試：

5 5 //5個數5次操作

1 5 4 2 3

2 2 4 //2是求出a-b區間

1 2 3 2 //1是a-b區間都+k

2 3 4

1 1 5 1

2 1 4

輸出：11820

線段樹模板（1）

模板線段樹 1

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