一. 動態規劃介紹
動態規劃與分治法整體思路相近：組合子問題的解求解原問題。將問題劃分為互不相交的子問題，遞迴地求解子問題，再將它們的解組合起來，求出原問題的解。
動態規劃的應用場景：子問題重疊。子問題的解決需要解決子子問題（遞迴），而不同子問題之間的子子問題是相同的。
動態規劃的實現及特點：對於分治演算法而言，它只是把問題分解為幾個子問題，再分別求解這些子問題，而在這些子問題的解決中，會把它分解為子子問題，解決每乙個子子問題，由於這些子子問題很多都是重複的，因而每次都重新計算會浪費計算資源。而對於動態規劃而言，它對於每個子子問題只求解一次，將問題的解儲存下來，在再一次遇見這些子子問題的時候，就可以直接呼叫這些子子問題的解，而不用重新計算。故動態規劃能通過儲存中間子子問題的解來降低演算法複雜度，而額外的空間往往只需要乙個**/陣列就可以。
動態規劃應用的常見問題：最優化問題，對某個場景尋求最優解（最大/最小值）。
二.動態規劃演算法
步驟：1.刻畫乙個最優解的結構特徵
2.遞迴地定義最優解的值
3.計算最優解的值，
4.利用計算出的資訊構造乙個最優解
三.舉例
1.鋼條切割
問題介紹：
假定我們知道一家公司**一段長度為i 的鋼條的**為pi（i=1,2,...)，鋼條的長度為整數，下圖是**表
長度i123
4567
8910**pi15
891017
1720
2430
鋼條切割問題：給定一段長度為n的鋼條和乙個**表pi（i=1,2,...n)，求切割鋼條方案，使得銷售收益rn最大，若長度為n的鋼條的pn足夠大，最優解可能完全不需要切割。
問題分析：
假設有n=4，有三個切割位置1-2,2-3,3-4，以1,0編碼它們是否切割，得到以下切割方案，對應於0-7的二進位製碼，有以下8種切割方案：
a. 4 (不切割)；b. 3 1；c. 2 2；d. 2 1 1；
e. 1 3 ；f. 1 2 1 ；g. 1 1 2；h. 1 1 1 1；
很顯然，最有解應當是c，r=5+5=10。
對於長度為n的鋼條，它的切割位置有n-1個，可以選擇切割或者不切割，故它的切割方案有2^(n-1)。
動態規劃演算法應用分析：
第一步，刻畫乙個最優解的結構特徵。
也就是說我們要先假設已經得到了最優解，那麼針對這道題，我們已經得到了分割後的幾段鋼條，得到了幾個最優切割位置，那麼我們可以考慮選擇乙個最優切割位置切割，然後得到兩個子鋼條（每個子鋼條不止一段），而每個子鋼條都是經最優切割位置切割好的。而每個子鋼條就相當於原鋼條，最後把每個切割位置都切割後，問題就解決了。所以我們的最優解的結構特徵就是：每個子鋼條都是經最優切割位置切割好的。
好我們重頭再來一遍，這次我們要加上具體的實現操作，我們選擇乙個最優切割位置切割，那麼如何選擇乙個最優切割位置切割呢，最簡單的方法，就是把每個位置都切割一遍，看看哪個最優。所以我們有公式
注：pn就表示不切割的情況，共有n-1個切割位置。
在計算中，這個遞迴表示式的終止條件是n=1，此時r1=p1
實際上相比於每次將乙個原問題分為兩個問題，還有一種更簡單的方式，就是我們每次切割的時候，保證切割的其中一條子鋼條只有一段，而另一條子鋼條是經最優切割位置切割好的。，而不僅僅是切為兩個子鋼條。於是公式可以簡化為
這樣原問題的最優解只包含乙個相關子問題，而不是兩個。
直接遞迴 c++**
/*p[0]儲存p1值*/
cut_rod(p,n)
return q;
}
當i=4時，有
n4=1+n3+n2+n1+n0=1+(1+n2+n1+n0)+n2+n1+n0=2(1+n2+n1+n0)=2(1+(1+n1+n0)+n1+n0)=4(1+n1+n0)=4(1+(1+n0+n0)=8(n0+1)=16
於是總共呼叫次數為2^n-1，它的複雜度為o(2^n)，是無法求解的。
於是，我們來思考切割鋼條的子子問題：子鋼條到底有幾種呢？僅有n種長度的子鋼條，也就是說在遞迴求解子問題的時候一直在重複計算這些子子問題，這才使得運算效率變得極低，事實上只需要把這n種情況全部計算一遍，就可以得到最終的解。
動態規劃演算法，就是計算這些子子問題的解，再組合這些子子問題的解，得到最優解。
主要有兩種實現方式，第一種是自頂而下的方式，在上面所講的遞迴方式中加入備忘機制，使得每個子子問題在計算了一次之後記錄下來，第二次遇見的時候就可以直接呼叫
自頂而下 c++**
/*p[0]儲存p1值*/
memoized_cut_rod(int *p,int n)
r[j]=q;
}return r[n];
}
拓展：如果問題再變得複雜一點，鋼條的售價不僅僅依賴於它的長度，而且還依賴於它的位置，也即p(i,j)，i,j分別表示初始結束位置，切割位置依舊只能選擇整數字置。
那麼對於這個新問題，它的子問題依舊是切割一次後的子鋼條，而它的子子問題就變成了每一種可能的子鋼條情況，不再是簡單的長度從1到n，而是要首尾各排列組合，也就是n(n+1)/2種情況，在這個時候，我們在使用動態規劃的時候，就需要用乙個二維陣列來儲存這n(n+1)/2個數值。
四. 參考文獻
1.《演算法導論》
讀書筆記 演算法導論
第2章演算法入門 浮於表面不如深入其中，送給自己，自己是最大的敵人，那麼就盡最大努力去克服自己，沉思，冷靜，不浮躁！勘誤 在演算法導論第9頁,扼要的扼 內容提要 1 偽 的表示方法 2 插入排序演算法分析 3 迴圈不變式 4 演算法設計之分治法 divide and conquer 5 合併排序演算...
演算法導論 讀書筆記2010 12 6
演算法就是一系列的計算步驟，用來將輸入資料轉換為輸出結果。資料結構師儲存和組織資料的一種方式，以便於對資料進行訪問和修改。插入排序演算法，對n個資料項的時間大約是c1n 2，其中c1是乙個不依賴於n的常量。亦即該演算法所需的時間大致與n 2成正比。合併排序演算法，排序n個資料項的時間大約是c2log...
《演算法導論》讀書筆記（一）
理解 輸入到輸出的計算過程稱為演算法。1.演算法描述 2.證明演算法正確性 3.分析演算法效率 兩個例子 1.插入排序 思想 從未排序的序列中取出乙個元素，將其插入到已排序序列的正確位置。實現 include include using namespace std int main for int ...