正則化項L1和L2的區別

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一、概括：

l1和l2是正則化項，又叫做罰項，是為了限制模型的引數，防止模型過擬合而加在損失函式後面的一項。

二、區別：

1.l1是模型各個引數的絕對值之和。

l2是模型各個引數的平方和的開方值。

2.l1會趨向於產生少量的特徵，而其他的特徵都是0.

因為最優的引數值很大概率出現在座標軸上，這樣就會導致某一維的權重為0 ，產生稀疏權重矩陣

l2會選擇更多的特徵，這些特徵都會接近於0。

最優的引數值很小概率出現在座標軸上，因此每一維的引數都不會是0。當最小化||w||時，就會使每一項趨近於0

三、再討論幾個問題

1.為什麼引數越小代表模型越簡單？

越是複雜的模型，越是嘗試對所有樣本進行擬合，包括異常點。這就會造成在較小的區間中產生較大的波動，這個較大的波動也會反映在這個區間的導數比較大。

只有越大的引數才可能產生較大的導數。因此引數越小，模型就越簡單。

2.實現引數的稀疏有什麼好處？

因為引數的稀疏，在一定程度上實現了特徵的選擇。一般而言，大部分特徵對模型是沒有貢獻的。這些沒有用的特徵雖然可以減少訓練集上的誤差，但是對測試集的樣本，反而會產生干擾。稀疏引數的引入，可以將那些無用的特徵的權重置為0.

3.l1範數和l2範數為什麼可以避免過擬合？

加入正則化項就是在原來目標函式的基礎上加入了約束。當目標函式的等高線和l1,l2範數函式第一次相交時，得到最優解。

l1範數：

l1範數符合拉普拉斯分布，是不完全可微的。表現在影象上會有很多角出現。這些角和目標函式的接觸機會遠大於其他部分。就會造成最優值出現在座標軸上，因此就會導致某一維的權重為0 ，產生稀疏權重矩陣，進而防止過擬合。

l2範數：

l2範數符合高斯分布，是完全可微的。和l1相比，影象上的稜角被圓滑了很多。一般最優值不會在座標軸上出現。在最小化正則項時，可以是引數不斷趨向於0.最後活的很小的引數。

假設要求的引數為θθ，hθ(x)hθ(x)是我們的假設函式，那麼線性回歸的代價函式如下：

那麼在梯度下降法中，最終用於迭代計算引數θθ的迭代式為：

如果在原始代價函式之後新增l2正則化，則迭代公式會變成下面的樣子：

每一次迭代，θj都要先乘以乙個小於1的因子，從而使得θj不斷減小，因此總得來看，θ是不斷減小的。