LeetCode 4 兩個排序陣列的中位數

兩個排序陣列的中位數median of two sorted arrays

給定兩個大小為 m 和 n 的有序陣列nums1和nums2。

請找出這兩個有序陣列的中位數。要求演算法的時間複雜度為 $o(\log (m+n))$ 。

示例 1:

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
中位數是 2.0

示例 2:

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
中位數是 (2 + 3)/2 = 2.5

: 陣列，二分查詢，分治演算法

題目給定兩個有序的陣列，找出中位數並不困難，最簡單的乙個迴圈就行，時間複雜度 $o(m+n)$ 。但是題目要求時間複雜度為 $o(\log (m+n))$ 就是乙個大問題，具體思路採用二分查詢，如下：

其中k 表示要求的中位數的位置，初始化 $k = (m + n + 1) / 2$ 和 $k = (m + n + 2) / 2$，即 $m + n$ 是偶數時為中間兩個， $m + n$ 是奇數時為中位數的後面乙個。

首先將 a 劃分為左右兩部分，其中 $i = k / 2$ ，$length(left_a) = i，length(right_a) = k - i$

left_a             |        right_a
a[0], a[1], ..., a[i-1] | a[i], a[i+1], ..., a[m-1]

然後將 b 劃分為左右兩部分，其中 $j = k / 2$ ，$length(left_a) = j，length(right_a) = k - j$

left_b             |        right_b
b[0], b[1], ..., b[j-1] | b[j], b[j+1], ..., b[n-1]

則，a、b 陣列可分為左右兩部分，如下：

left          |          right
a[0], a[1], ..., a[i-1] | a[i], a[i+1], ..., a[m-1]
b[0], b[1], ..., b[j-1] | b[j], b[j+1], ..., b[n-1]

劃重點來了

如果，$a[i-1] > b[j-1]$，則說明，中位數一定在 $left_a、right_a、right_b$中，這樣就排除了$left_b$，想想這是為什麼？

因為有$a[i-1] > b[j-1]$ 不妨設 $a[0] > b[p]，p=0,1,2,\ldots,j-1$ 則中位數一定不在$left_b$中，所以縮小查詢範圍。

left          |          right
a[0], a[1], ..., a[i-1] | a[i], a[i+1], ..., a[m-1]
| b[j], b[j+1], ..., b[n-1]

如果，$a[i-1] < b[j-1]$，則說明，中位數一定在 $right_a、left_b、right_b$中，這樣就排除了$left_a$，想想這是為什麼？理由同上。

left          |          right
| a[i], a[i+1], ..., a[m-1]
b[0], b[1], ..., b[j-1] | b[j], b[j+1], ..., b[n-1]

接下來，將縮小範圍的新陣列 a 或者 b 按同樣的劃分，同樣的縮小範圍，就可得到最後結果。

由上可得，方法為二分查詢，定義遞迴函式，確定遞迴函式的出口為：

如何確定奇數個數取中位數，偶數個數取中間兩個數的平均數，我想，利用整數除法的規則，很容易就得到中位數為(m + n + 1) >> 1這個數與(m + n + 2) >> 1取平均值即可，當個數為奇數時，兩個數就是中間乙個數。

class solution 
int getkth(int* ln, int m, int* rn, int n, int k) 
if (m == 0) 
if (k == 1) 
int i = min(m, k / 2), j = min(n, k / 2);
if (ln[i - 1] > rn [j - 1]) else 
}};

LeetCode 4 兩個排序陣列的中位數

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