1、鍵中的屬性函式決定了關係集合中所有其他屬性；
2、鍵的真子集不能函式決定關係集合中所有其他的屬性（就是說，鍵必須是最小的，不是唯一的）。
以上是我在關係型別資料庫系統學習中的總結。關於鍵的學術一點的定義可以看下面這篇部落格
3、包含「鍵」的集合就是「超鍵」了，可見超鍵沒有必要是最小的，也不是唯一的。
1、屬性集合閉包的作用：用來推導出隱藏的函式依賴關係，也就是從給出的fd推斷出其他的fd；
2、屬性集合閉包的計算：
• 假設a=是乙個屬性集合，fd是 乙個函式依賴的集合，則基於fd的a的閉包b 也是乙個屬性集合，使得所有滿足fd中函式依 賴的元組都滿足以下函式依賴(由fd推導出): a1 a2 … an-> b,
• a的閉包記為a+，或者+。
• 研究基於函式依賴fd的a的閉包，可以分析a 的全部函式依賴，確定某個關係模式的超鍵， 並作為進一步研究函式依賴fd的閉包的基礎。
基於fd的屬性集合閉包計算方法
• 基於fd集合的 +計算方法如下:
(1) 設x是結果的屬性集合，x初始化為。
(2) 在fd集合中查詢b1 b2 … bm-> c表示式， 使得b1, b2, …,bm在x中，c不在x中。若找到， 則c加入x。
(3) 重複步驟(2)，直到x不再擴充套件。則可得： x= +
• 閉包的應用：當計算出基於某個fd集合的某個屬性 集合的閉包，就可以判斷該fd集合在該屬性集合中 所有隱含的函式依賴關係。
下面給出例題
假設關係r(a, b, c, d, e, f)存在fd: ab->c, bc->ad, d ->e和cf-> b，求+ ?
解答：設x = , 由ab->c可得 x = ;
由bc -> ad可得 x = ;
由d -> e可得x =
+ =
在由【美】jeffrey d．ullman、jennifer widom編寫的《關係資料庫系統基礎教程》一書中對閉包和鍵有著這樣的關係定義：
當且僅當a1 a2 ......an是關係的超鍵時，+才是這個關係所有屬性的集合。只有這樣，a1 a2 ......an才能函式決定其他的所有屬性。
如果要驗證是否為乙個關係的鍵，可以?
①檢查+是否包含了關係集合的所有屬性；
②再檢查從+移除乙個屬性後的集合x，使得x+包含關係的所有屬性。
我對書上這個定義的理解就是將超鍵不斷縮小到鍵的過程。
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