數論中群的概念

定義（群）設g為某種元素組成的乙個非空集合，若在g內定義乙個稱為乘法的運算「·」，滿足以下條件：

（1）（封閉性）

（2）（結合性）

（3）在g中有乙個元素e，對g中任意元素g，有e·g=g·e=g，元素e稱為單位元；

(4）對g中任一元素g都存在g中的乙個元素g'，使得g·g'=g'·g=e，g稱為可逆元，g'稱為g的逆元，記作

則稱g關於「·」形成乙個群（group），記作（g，·），通常在不混淆的情況下省略」.」，用g來表示乙個群，a·b也簡記為ab。

關於群的定義，我們特別需要注意以下幾點：

（一）群的概念與所採用的表述方式無關，關鍵在於運算所滿足的抽象性質。例如，定義中的乘法運算「·」也可以稱為加法運算「十」，只要依據該運算的定義，條件（1），（2），（3），（4）均成立即可。此時，「a·b」相應可記為「a+b」，（3）中的單位元習慣上稱為零元，（4）中「g」記為「一g」，稱為負元。

（二）運算「。」和「十」均是抽象運算，並不只是我們熟知的數之間的乘法和加法。非空集合g中的元素形式多樣，可以是數、集合、矩陣等研究物件。

經常看到各種群嚇唬我，先把常見的各種群的定義羅列如下：

abel群或交換群：群中的運算滿**換律的群

半群：非空集合g滿足條件（1）和（2），則稱g為半群

含么半群：非空集合g滿足條件（1），（2）和（３），則稱g為含么半群

舉幾個栗子：

全體非零實數r*對於通常意義下的乘法形成乙個群，因為該乘法滿足封閉性和結合性，有單位元1，對任意a.）是乙個乘法交換群。同樣全體非零有理數集q*，非零複數集c*對於通常意義下的乘法也構成乘法交換群。由於它們的元素個數並非有限，因而它們均是無限群。

有理數集q，實數集r和複數集c對通常意義下的加法構成了加法交換群，單

|位元為0，每個元素a的逆元為一麼。

整數集z對通常意義下的加法構成加法交換群，單位元為0，每個元素a的逆元為一a。

非零整數集

群g中元素的個數稱為g的階，記作｜g｜，若｜g｜＜＋

定義：設h為群g的乙個非空子集，若h對g的運算「·」也構成群，則稱h為群g的子群，記作h≤g。

由子群的定義知，h=和h=g都是群g的子群，稱之為群g的平凡子群。如果h不是群g的平凡子群，即真子群。

再舉個栗子：

所有偶數的集合是整數加法群z的子群。一般的，nz=是z的子群。

在通常意義的加法運算下，z≤q≤r≤c；在通常意義的乘法運算下，q*≤r*≤c*。

定義：群g由乙個元素a生成時，稱為迴圈群（cyclic group），記為g=。

舉個栗子：

即由2可以生成群

定義：設g為群，ord(a)。如果不存在這樣的正整數n，則稱元素a為無限階元。

整數加法群(z,+)中除了元素0外，其餘元素均為無限階元，因為對任意k

迴圈群的特性：

（1）迴圈群是abel群

（2）若g=,則|g|=ord(a)。

舉個例子：