靜態主席樹學習總結（詳細）

（菜雞這兩天學了靜態主席樹，看了好多大佬的**和解釋= =，終於看懂了！在此寫乙個菜雞詳細版的靜態主席樹總結o(∩_∩)o~~）

主席樹也稱函式式線段樹也稱可持久化線段樹。

求任意區間[l,r]的第k大數。假設這個區間是[1,r]：

（1）我們若每次求區間[1,r]的第k大數，則用權值線段樹可求解，即從根節點開始向下遞迴，若左子節點的sum值》=k，可見第k大的值在左子樹里，向左遞迴；反之，向右遞迴，直到當前區間l==r時，l即為所求值。

比如，插入數：1 2 2 4 3 5 ，求第3大的數（圖中區間旁標的是線段樹的sum值）

（2）若是求任意區間的該怎麼辦呢，靜態主席樹登場~~~

所謂主席樹呢，就是對原來的數列[1..n]的每乙個字首[1..i]（1≤i≤n）建立一棵線段樹，線段樹的每乙個節點存某個字首[1..i]中屬於區間[l..r]的數一共有多少個，如下圖：

比如，插入數：1 10 4 2

（1）去重，離散化：1 2 3 4，相當於依次插入點1 4 3 2

（2）對於數列1到4，構建5棵字首線段樹，如圖：

rt[i]表示第i棵樹的根節點編號；

紅色圈圈表示節點編號；

綠色筆標註的是個節點sum值；

鉛筆箭頭表示更新的情況；

（3）查詢，若要查詢[i..j]中第k大數時，則讓第j棵樹，減第i-1棵樹，此時的得到的新樹，記錄的正好是區間[l,r]的情況，在得到的樹中查詢第k大的數即可，

比如說，區間[2,4]中第2大，則樹4減樹1得到：

[1,4](3)

[1,2] (1) [2,4](2)

[1,1] [2,2] (1) [3,3](1) [4,4](1)

在這棵樹上查詢第2的的數，為3

（4）存在問題：對每乙個字首都建一棵樹，會mle，觀察到每個[1..i]和[1..i-1]只有一條路是不一樣的（鉛筆標出的更新的路徑），那麼其他的結點只要用回前一棵樹的結點即可，時空複雜度為o(nlogn)。

那麼，每棵樹都重複利用前一棵樹的節點，可達到節省節點（節省空間的）效果，當然，每棵樹根節點編號會發生改變：

知道了原理，**就好說多了~

（1）輸入陣列，去重，離散化（不多說）

for(int i=1;i<=n;i++)
sort(a+1,a+1+n);
int nn=unique(a+1,a+1+n)-(a+1);

（2）初始化第0棵樹

通過上面的「原理部分」的圖，大家可能發現了，主席樹在建樹的時候，和普通線段樹的建樹操作不太一樣。

對於普通線段樹：根節點的編號是x，左子樹的編號是x<<1,右子樹是x<<1|1；

而對於主席樹，由於多個節點重複使用，很顯然不滿足這個性質，所以，要用rt[i],ls[rt[i]],rs[rt[i]]分別存，樹i的根節點編號，左子樹根節點編號，右子樹根節點編號。

我們用遞迴的方法，根節點編號為x，則左子樹根節點為x+1，

再以左子樹為根節點，遞迴其左子樹，直到左子樹為空，再去遞迴右子樹，（相當於先序遍歷，可結合上圖理解一下主席樹編號是怎麼賦值的）

rt[i]:=樹i的根節點編號是多少

ls[rt[i]]:=根節點編號為rt[i]的左子樹的根節點編號

rs[rt[i]]:=根節點編號為rt[i]的右子樹的根節點編號

//build(rt[0],1,nn);
void build(int &o,int l,int r)

（3）從1到n建樹操作

由「原理」部分可知，插入i節點的時候，建第i棵樹，是在第i-1棵樹的基礎上建的，

先把新樹，左子樹的 ls 和 rs 都賦值成老樹的 ls 和 rs，當然，其中乙個必定會改變（每次更新只改變一條路徑嘛）

更新的點p在其左子樹中時，左節點肯定要變啦，右節點不變，直接用之前的節點就好啦！（rs[o]=rs[pre]）

此時update(ls[o],l,m,ls[pre],p);

改變左子樹的ls的值，和sum值

/*
for(int i=1;i<=n;i++)
*/void update(int &o,int l,int r,int pre,int p)

（4）查詢

假設查詢區間[l,r]，則讓第r棵樹-第（l-1）棵樹，在得到的這棵新樹上查詢就好啦

第r棵樹根節點編號：rr=rt[r]

第r棵樹左子樹根節點的編號：ls[rr]

第r棵樹左子樹的sum值：sum[ls[rr]]

同理，第l-1棵樹，左子樹的sum值：sum[ls[lr]]

cnt=sum[ls[rr]]-sum[ls[lr]] := 第r棵樹-第（l-1）棵樹的左子樹的sum值

若k<=cnt，查詢左子樹，

反之，查詢右子樹

//int ans=query(rt[l-1],rt[r],1,nn,k);
int query(int lr,int rr,int l,int r,int k)

完結撒花✿✿ヽ(°▽°)ノ✿

看一道模板題：

洛谷p3834

**如下：

#include#include#include#include#include#include#include#include#include#includeusing namespace std;
#define ll long long
typedef pairp;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int n=200005;
int a[n],b[n],tot=0;
int rt[n],ls[n*20],rs[n*20],sum[n*20];
void build(int &o,int l,int r)
void update(int &o,int l,int r,int pre,int p)
int query(int lr,int rr,int l,int r,int k)
int main()
sort(a+1,a+1+n);
int nn=unique(a+1,a+1+n)-(a+1);
int l,r,k;
build(rt[0],1,nn);
for(int i=1;i<=n;i++)
while(m--)
}

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