禮物的最大價值

題目：在乙個m×

\times

×n的期盼的每乙個都放有乙個禮物，每個禮物都有一定的價值。你可以從棋盤的左上角開始拿格仔裡的禮物，並每次向左或者向下移動一格，直到達到棋盤的右下角。給定乙個棋盤及其上面的禮物，請計算你最多能拿到多少價值的禮物？

例如，在下面的棋盤中，可以拿到最大價值為53的禮物

1 10 3 8

12 2 9 6

5 7 4 11

5 7 16 5

對於這個問題，開始的思路就是回溯法，求出從左上角開始所有能到達右下角的路徑，並計算這條路徑上的長度，並維護乙個max_path，最終返回的max_path值為最後的最大價值，**如下：

def
find_path
(nums)
: rows =
len(nums)
cols =
len(nums[0]
) visited =[[
0for i in
range
(cols)
]for j in
range
(rows)
] max_num =
0 count =
0 find_max_path(nums,0,
0, rows, cols, visited, max_num, count)
return max_num[0]
deffind_max_path
(nums, row, col, rows, cols, visited, max_num, count)
:# 終止條件，意思是到達邊界重點
# 此時需要比較並更新路徑最大值
if row == rows -
1and col == cols -1:
count += nums[row]
[col]
if max_num < count:
max_num = count
return
visited[row]
[col]=1
count += nums[row]
[col]
if row < rows -
1and visited[row +1]
[col]!=1
: find_max_path(nums, row +
1, col, rows, cols, visited, max_num, count)
if col < cols -
1and visited[row]
[col +1]
!=1: find_max_path(nums, row, col +
1, rows, cols, visited, max_num, count)
visited[row]
[col]
=0

這是開始寫出的**，是個錯誤的**，其錯誤原因就是並不能通過max_num = count的語句來使max_num的值得到更新，儘管在當前棧裡的max_num已經更新，但是在賦值時其實是產生了乙個新的max_num，如果跟蹤max_num的id可以發現，max_num的id在賦值時發生變化，這個新的max_num並不會影響到上乙個呼叫棧裡max_num的值，因此在遞迴中這樣改變乙個整數的值不可行。

需要通過其他的辦法來儲存之前max_num的值，並且讓這個對所有的函式棧都可見且不變，想到之前寫遍歷樹的路徑及全排列的題目，需要儲存最終答案時都是使用的list，因此將max_num轉化為list來更新。list本身就是可變的，更改其中的元素數值不會改變list的id，因此對於所有的棧全程可見。

def
find_path
(nums)
: rows =
len(nums)
cols =
len(nums[0]
) visited =[[
0for i in
range
(cols)
]for j in
range
(rows)
] max_num =[0
] count =
0 find_max_path(nums,0,
0, rows, cols, visited, max_num, count)
return max_num[0]
deffind_max_path
(nums, row, col, rows, cols, visited, max_num, count)
:# 終止條件，意思是到達邊界重點
# 此時需要比較並更新路徑最大值
if row == rows -
1and col == cols -1:
count += nums[row]
[col]
if max_num[0]
< count:
max_num[0]
= count
return
visited[row]
[col]=1
count += nums[row]
[col]
if row < rows -
1and visited[row +1]
[col]!=1
: find_max_path(nums, row +
1, col, rows, cols, visited, max_num, count)
if col < cols -
1and visited[row]
[col +1]
!=1: find_max_path(nums, row, col +
1, rows, cols, visited, max_num, count)
visited[row]
[col]
=0

這是我對這題的思路，但這個思路放在筆試裡感覺大概率超時，遞迴多，確實有點慢，參考《劍指offer》中動態規劃的思路，遞推公式為：

f (i

,j)=

max(

f(i−

1,j)

,f(i

,j−1

))+g

ift[

i,j]

f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i,j-1)) + gift[i,j]

f(i,j)

=max

(f(i

−1,j

),f(

i,j−

1))+

gift

[i,j

]公式挺好理解的，這裡子問題的座標是從小到大，因此迴圈從前面開始就可以。

def
find_path
(nums)
: rows =
len(nums)
cols =
len(nums[0]
) max_values =[[
0for i in
range
(cols)
]for j in
range
(rows)
]for i in
range
(rows)
:for j in
range
(cols)
: up, left =0,
0if i >0:
up = max_values[i -1]
[j] left = max_values[i]
[j -1]
max_values[i]
[j]=
max(up, left)
+ nums[i]
[j]return max_values[-1
][-1
]

不論是**量還是寫起來的順暢程度，都比回溯法簡單太多了。

禮物的最大價值

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禮物的最大價值

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