動態規劃求解最長遞增子串行的長度

一，問題描述

給定乙個序列，求解它的最長遞增子串行的長度。比如： arr = 的最長遞增子串行長度為4。即為：1,4,5,9

二，演算法分析

有兩種方式來求解，一種是轉化為lcs問題。即，首先對陣列排序，將排序後的結果儲存在輔助陣列中。排序時間複雜度o(nlogn)，排序後的陣列與原陣列組成了lcs（n,n）問題。解決lcs問題的時間複雜度為o(n^2)，故整個演算法的時間複雜度為o(n^2)，空間複雜度為o(n)

另一種方式是直接用dp求解，演算法如下：時間複雜度為o(n^2)

①最優子問題

設lis[i] 表示索引為 [0...i] 上的陣列上的最長遞增子串行。初始時，lis[i]=1，注意，在dp中，初始值是很重要的，它是整個演算法執行正確的關鍵。而初始值則可以通過畫乙個小的示例來確定。

當 arr[i] > arr[j]，lis[i] = max+1 ；其中，j 的取值範圍為：0,1...i-1

當 arr[i] < arr[j]，lis[i] = max ；其中，j 的取值範圍為：0,1...i-1

②重疊子結構

從上面可以看出，計算 lis[i]時，需要計算 lis[j]，其中 j < i，這說明有重疊子問題。借用網路中一張圖如下：

lis(4)           
/ | \
lis(3) lis(2) lis(1) 
/ \ / 
lis(2) lis(1) lis(1) 
/ 
lis(1)

而初始值則可以通過畫乙個小的示例來確定。

求解兩個字串的最長公共子串行

動態規劃(3)-最長遞增子串行

三，**實現

錯誤版本1：

1
private
static
int lis(int arr, int length)
18else
22 }
23 }
24return lis[length - 1];
25 }

第13行if語句會導致bug，arr[i]要大於 j belongs to 0,1,...i-1 中所有的 arr[j]中的最大值，並且 lis[i] 是該最大值arr[j] 所對應的 lis[j] +1，而不是某個其他的arr[j] 對應的 lis[j]+1

正確完整版本：

public

class lis

private

static

int lis(int arr, int length)

if(arr[i] > arr[j] && lis[j] + 1 > lis[i])

lis[i] = lis[j] + 1;}}

int max = lis[0];

for(int i = 1; i < length; i++)

if(max < lis[i])

max = lis[i];

return max;

}public

static

void main(string args) ;

int result = lis(arr);

system.out.println(result);}