2-1 （在歸併排序中對小陣列採用插入排序） 雖然歸併排序的最壞情況執行時間為θ（nlgn），而插入排序的最壞情況執行時間為θ（n2），但是插入排序中的常量因子可能使得它在n較小時，在許多機器上實際執行得更快。因此，在歸併排序中當子問題變得足夠小時，採用插入排序來使遞迴的葉變粗是有意義的。考慮對歸併排序的一種修改，
39其中使用插入排序來排序長度為k的n/k個子表，然後使用標準的合併機制來合併這些子表，這裡k是乙個待定的值。
a.證明：插入排序最壞情況可以在θ（nk）時間內排序每個長度為k的n/k個子表。
b.表明在最壞情況下如何在θ（nlg（n/k））時間內合併這些子表。
c.假定修改後的演算法的最壞情況執行時間為θ（nk+nlg（n/k）），要使修改後的演算法與標準的歸併排序具有相同的執行時間，作為n的乙個函式，借助θ記號，k的最大值是什麼？
d.在實踐中，我們應該如何選擇k？
2-2 （氣泡排序的正確性） 氣泡排序是一種流行但低效的排序演算法，它的作用是反覆交換相鄰的未按次序排列的元素。
bubblesort(a)
1 for i = 1 to a.length - 1
2 for j = a.length downto i + 1
3 if a［j］ < a［j - 1］
4 exchange a［j］ with a［j - 1］
a.假設a′表示bubblesort(a)的輸出。為了證明bubblesort正確，我們必須證明它將終止並且有：
a′［1］≤a′［2］≤…≤a′［n］（2.3）
其中n=a.length。為了證明bubblesort確實完成了排序，我們還需要證明什麼？
下面兩部分將證明不等式（2.3）。
b.為第2～4行的for迴圈精確地說明乙個迴圈不變式，並證明該迴圈不變式成立。你的證明應該使用本章中給出的迴圈不變式證明的結構。
c.使用（b）部分證明的迴圈不變式的終止條件，為第1～4行的for迴圈說明乙個迴圈不變式，該不變式將使你能證明不等式（2.3）。你的證明應該使用本章中給出的迴圈不變式證明的結構。
40d.氣泡排序的最壞情況執行時間是多少？與插入排序的執行時間相比，其效能如何？
2-3 （霍納（horner）規則的正確性） 給定係數a0,a1,…,an和x的值，**片段
1 y = 0
2 for i = n downto 0
3 y = ai + x·y
實現了用於求值多項式
p（x)=∑nk=0akxk=a0+x（a1+x（a2+…+x（an-1+xan）…））
的霍納規則。
a.借助θ記號，實現霍納規則的以上**片段的執行時間是多少？
b.編寫偽**來實現樸素的多項式求值演算法，該演算法從頭開始計算多項式的每個項。該演算法的執行時間是多少？與霍納規則相比，其效能如何？
c.考慮以下迴圈不變式：
在第2～3行for迴圈每次迭代的開始有
y=∑n-（i+1）k=0ak+i+1xk
把沒有項的和式解釋為等於0。遵照本章中給出的迴圈不變式證明的結構，使用該迴圈不變式來證明終止時有
y=∑nk=0akxk。
d.最後證明上面給出的**片段將正確地求由係數a0,a1,…,an刻畫的多項式的值。
2-4 （逆序對） 假設a［1..n］是乙個有n個不同數的陣列。若ia［j］，則對偶（i，j）稱為a的乙個逆序對（inversion）。
a.列出陣列〈2,3,8,6,1〉的5個逆序對。
41b.由集合中的元素構成的什麼陣列具有最多的逆序對？它有多少逆序對？
c.插入排序的執行時間與輸入陣列中逆序對的數量之間是什麼關係？證明你的回答。
《計算機程式設計藝術》第1卷第3版英文影印版已由機械工業出版社出版，isbn 978-7-111-22709-0。——編輯注
《計算機程式設計藝術》第3卷第2版英文影印版已由機械工業出版社出版，isbn 978-7-111-22717-5。——編輯注
演算法導論第21章思考題
給定乙個操作序列，包括insert x 和extract min，運算元x 1,n 4,8,e,3,e,9,2,e,e 將第i次extract min的數儲存在extract i 中 建立乙個優先佇列，給定乙個操作，馬上在優先佇列中做出相應改變即可 演算法解釋 將樣例輸入看成s1,e,s2,e,s3...
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演算法導論 思考題 8 4
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