一、簡要介紹
catmull-rom演算法保證兩點：
1、點pi的一階導數等於pi+1 - pi-1，即點pi的切向量和其相鄰兩點連線的切向量是平行的；
2、穿過所有pi點。這是與貝塞爾曲線的最大區別，正因為這樣的特性，使得catmull-rom演算法適於用作軌跡線演算法。
點pi處的切線記作：τ (pi+1 − pi−1)。此演算法的轉換矩陣如下：
二、演算法推導
首先，此演算法工作需要四個點，p0(pi-2)、p1(pi-1)、p2(pi)、p3(pi+1)。
τ用於影響扭曲程度。
作為乙個立方插值函式，抽象原型如下，我們需要做的就是求出下式中的c0、c1、c2、c3。
根據下圖的抽象，我們可以得出四個等式：
將引數0、1代入即可得：
將c0、c1代入其它兩式後，可得下式：
解得：
最終結果為：
注意：我們的控制點雖然有4個，但是繪製的曲線卻只能夠通過中間的兩個點。這就帶來 如果想曲線同時過這四個點，該怎麼處理的問題。其實處理方法十分簡單，我們只要人為的構造乙個起點和終點來構成四個控制點即可。比如現在有p0，p1，p2，p3，如果用[p0，p1，p2，p3]構造曲線，曲線將只能夠通過p1-p2，為了讓曲線能夠通過p0和p3，我們可以人為的構造出如下的控制點[2p0 - p1，p0，p1，p2]，以及[p1, p2, p3, 2p3 - p2]。通過這樣的方法，就能夠繪製一條經過所有控制點的曲線了。
參考部落格：
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