模型理解 對FM模型核心思想的理解

在《深入ffm原理與實踐》中提到：「所有二次項引數 wij

w_wi

j​可以組成乙個對稱陣 w

ww，那麼這個矩陣就可以分解為w=v

tv

w=v^tv

w=vtv，v

vv 的第 j

jj 列便是第 j

jj 維特徵的隱向量。換句話說，每個引數 wij

=⟨vi

,vj⟩

w_=\left \langle v_i,v_j \right \rangle

wij​=⟨

vi​,

vj​⟩

，這就是fm的核心思想。」

在poly2模型中等式為：y^(

x)=w

0+∑i

=1nw

ixi+

∑i=1

n∑j=

i+1n

wi,j

xixj

\hat(x)=w_0+\sum_^nw_ix_i+\sum_^n^nx_ix_j}}

y^​(x)

=w0​

+i=1

∑n​w

i​xi

​+i=

1∑n​

j=i+

1∑n​

wi,j

​xi​

xj​  在梯度下降時，偏導求解結果如下：

∂ ∂θ

y^(x

)=

\hat(x)=\begin 1 & \\ x_i & \\ x_iy_i &}\\ \end

∂θ∂​y^

​(x)

=⎩⎪⎨

⎪⎧​1

xi​x

i​yi

​​if

θisw

0​if

θisw

i​if

θisw

ij​​

而在fm模型中等式為：y^(

x)=w

0+∑i

=1nw

ixi+

∑i=1

n∑j=

i+1n

⟨vi,

vj⟩x

ix

j\hat(x)=w_0+\sum_^nw_ix_i+\sum_^n^nx_ix_j}}

y^​(x)

=w0​

+i=1

∑n​w

i​xi

​+i=

1∑n​

j=i+

1∑n​

⟨vi​

,vj​

⟩xi​

xj​  偏導結果為：

∂ ∂θ

y^(x

)=

\hat(x)=\begin 1 & \\ x_i & \\ x_i\sum_^nv_x_j-v_x_i^2 &}\\ \end

∂θ∂​y^

​(x)

=⎩⎪⎨

⎪⎧​1

xi​x

i​∑j

=1n​

vj,f

​xj​

−vi,

f​xi

2​​i

fθis

w0​i

fθis

wi​i

fθis

vi,f

​​於是便會發現在poly2模型中，如果訓練資料過於稀疏，導致 xiy

i=

0x_iy_i=0

xi​yi​

=0的情況大量出現，那麼在求解的時候 wij

w_wi

j​也會大量出現0，也就是雖然引進兩兩組合的特徵，但是訓練效果不好；但是在fm模型中則不會出現這個問題，fm能夠抓住變數間的相互作用，並且時間複雜度為o(k

n)

o(kn)

o(kn)。

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