尤拉篩素數素數個數

素數個數

題目描述：

求1,2,\cdots,n1,2,⋯,n 中素數的個數。

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1 個整數n。

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1 個整數，表示素數的個數。

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10輸出樣例#1：複製4說明

• 對於40% 的資料，1 \n \10^6

• 對於80% 的資料，1 \ln \10^7

• 對於100% 的資料，1 \n \10^8

當看到這道題的時候，我直接寫下了逐個取餘判斷的**，然而看到資料範圍的時候我就慌了。。。

當時由於沒學過關於素數篩選的演算法，很顯然除了打表我什麼也幹不了。。。

好吧，不廢話了，直接步入正題：

由於這道題的資料範圍較大，因此列舉肯定是行不通的，就算是使用正常篩法，面對10的八次方的資料也是顯得十分的吃力，由此，我們要引入尤拉篩法(這裡先介紹一下樸素篩法）：

由於任何合數都可以拆分成若干素數的乘積，因此每當我們找到乙個素數的時候，就可以將部分合數篩選出來，那麼我們就解決的部分的問題。

並且講到這裡有乙個隱含條件：就是沒有被篩選出來的數就是素數（這個可以簡化**長度，也是理解這道題的關鍵），至於證明，我們可以用反證法：如果它不是素數，那麼它一定是合數，而合數又可以拆分成兩個素數的乘積，那麼在找到它的因子的時候就一定會將其篩選出來。證完

強忍著沒有在證明的時候說顯然。。。

因此我們要優化！！！（由此誕生了尤拉篩法）

由於下面講解問題，我們先看**：

#include
#include
int prime[
100000005];
bool vis[
100000005];
intprime
(int n)
}return ans;
}int
main()

其實也很好理解：由於合數可以拆分成不同素數*k（k∈z），那麼當我們篩選時只要篩選出最小素數因子即可，比如12

12=43=62 很顯然，我們需要的就是用素數2來篩選掉12，那麼怎麼實現呢？

其實這其中有乙個規律：由於i是由小到大列舉的，並且陣列中的素數也是由小到大列舉的，那麼顯然我們會先看到43，又因為4在和素數2篩掉8時發現竟然能被整除，並且接下來的43是沒有意義的計算，那麼每當i%素數==0是跳出即可。

如果你要問我具體該如何證明那我可以簡單說一下：

由於p[j]*k(k∈z)=i,那麼a[j+1]*i=a[j]ka[j+1]，所以a[j]乘以某個數一定在將來會把這個合數篩掉，由於a[j]比a[j+1]小，那麼a[j]才可能是最小素數因子。

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