三門問題解析

問題描述

參賽者面前有三扇關閉著的門，其中一扇的後面是一輛?，選中後面有車的那扇門就可以贏得該汽車，而另外兩扇門後面則各藏有乙隻?。當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，主持人會開啟剩下兩扇門中的一扇，露出其中乙隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要更換選擇，選另一扇仍然關著的門。

問題是：換另一扇門是否會增加參賽者贏得汽車的機率?即主持人清楚的知道，自己開啟的那扇門後面是山羊，那麼答案是會。不換門的話，贏得汽車的機率時1/3，換門的，贏得汽車的機率是2/3。

這個問題亦被叫做蒙提霍爾悖論：雖然該問題的答案在邏輯上並不自相矛盾，但十分違背直覺。這問題曾引起一陣熱烈的討論。

解答：

1.換門

解法一：當參賽者換門的話有1種可能性：

參賽者挑山羊1號，主持人開啟山羊2號門。換門將贏得汽車。概率為1/3

參賽者挑山羊2號，主持人開啟山羊1號門。換門將贏得汽車。概率為1/3

參賽者挑汽車，主持人挑山羊1號。換門將為山羊2號，失敗概率為1/3 x1/2。主持人挑山羊2號。換門將為山羊1號，失敗概率為1/3 x1/2。換門失敗的可能性為：1/3 x1/2 + 1/3 x1/2=1/3;

則換門贏得汽車的可能性為：1/3+1/3=2/3

解法二：

假設你永遠會轉化選擇，這時要贏的話需選擇乙個後面是山羊的門，因為主持人必定會選擇一扇有山羊的門，消除了換門後選到另乙隻羊的可能性。門的總數是三扇，有羊的門是兩扇選到的概率為2/3，所以開始選羊後換門獲勝的概率為2/3。

2.不換門

不換門時有3種可能性：

參賽者選到山羊1號，可能性為1/3，主持人挑出山羊2號。失敗。

參賽者選到山羊2號，可能性為1/3，主持人挑出山羊1號。失敗。

參賽者選到汽車，可能性為1/3，主持人挑出山羊。

則參賽者不換門時，贏得汽車的概率為:1/3

總結：

一開始選錯的話，換了就一定會贏，一開始選對了的話，換了就一定會輸。一開始選錯的概率是2/3，一開始選對的概率是1/3，所以換了之後贏的概率大。