回文樹（回文自動機）筆記

回文樹詳解1：what is palindromic auto-machine?：回文自動機，又叫回文樹，是由俄羅斯人 mikhailrubinchik於2023年夏發明的(

這是一種比較新的資料結構，在原文中已有詳細介紹與**實現。

回文樹其實不是嚴格的樹形結構，因為它有是兩棵樹，分別是偶數長度的回文樹和奇數長度的回文樹，樹中每個節點代表乙個回文串。

為了方便，第一棵樹的根是乙個長度為0的串，第二棵就是為-1的串，不要感到奇怪，就是-1。

可以證明，最多只有n個結點（n是串的長度）。這個可以用manacher演算法來證明。

如果某結點代表的是串ccabacc，那麼它的父親代表的串就是去掉前後兩個字元cabac。

每個點還有乙個fail指標，表示這個串的字尾中最長的回文串，比如babab的fail指向bab，bab的指向b。

方法的思想和kmp，ac自動機很類似

回文樹詳解2：回文樹介紹(palindromic tree)

題解 p5496 【【模板】回文自動機（pam）】：裡面有fail陣列的含**釋，和，借助trans陣列解雙倍回文

首先，如上面說到的，樹中每個節點代表乙個回文串，那麼由字串「abbaabba」得到的回文樹結構大概是這個樣子：（紅色是結點編號，節點裡面是結點所代表的的回文串及其長度）

1、計算本質不同的回文串個數

像ac自動機一樣，我們需要通過乙個陣列next[ ][ ]來存回文樹的結構。next[i][j]表示在結點i表示的回文串前後加乙個字元『j』得到的新的回文串編號

每個點的fail指標，表示它的字尾中最長的回文串的編號。實際上我們可以通過fail陣列遍歷到以這個點結尾的所有的字尾回文串。知道這一點，我們就可以計算串s內回文串的個數了

我們用乙個last記錄以上乙個結點結尾的最長回文串的編號，當我們新加入乙個結點時，我們就可以通過上乙個結點的fail找到以當前結點結尾的最長回文串，然後判斷這個回文串是否已經存在，不存在就新建乙個結點來存它。然後繼續遍歷上乙個結點的fail找到當前結點的fail（這段的詳細說明可以看上面詳解2中回文串構造部分）

//剛看完回文樹的時候一直有點迷為什麼只用找一次fail就可以知道以當前結點結尾的所有回文串的資訊，還有為什麼加入結點的過程中cnt陣列記錄的次數是不完整的，所以過了幾天才來補這篇部落格hhh。//如下圖1，紅色表示的回文串是這個最長回文串的fail，即它的最長字尾回文串，實際上如圖2這個回文串的資訊在前面已經處理過了，所以我們只用將fail「指標」指向這個回文串，就可以遍歷到所有字尾回文串了

明白這些，我們就可以解決最基本的問題：計算字串中本質不同的回文串個數，也就是回文樹結點個數p減去兩個根結點——p-2

struct pal_tree
void
init()
//初始化
intgetfail
(int x)
//和kmp一樣，失配後找乙個盡量最長的
void
add(
int c)
last=net[cur]
[c];
//cnt[last]++;
}}tree;
intmain()
//部分注釋來自回文串詳解1

2、計算串s內回文串的個數

既然我們可以通過fail陣列遍歷到以這個點結尾的所有的字尾回文串，那麼就可以用乙個陣列num[ ]記錄每個結點的fail陣列的「深度」，這個「深度」也就是以這個結點結尾的回文串個數

3、計算串s內每乙個本質不同回文串出現的次數

類似tire樹中的vs陣列，cnt陣列只是將「以當前結點結尾的最長回文串」出現的次數上+1了，見上文**中倒數第三行的注釋。所以它的fail鏈前面的結點，即以當前結點結尾的其他回文串還沒有統計，所以最後還要處理一遍cnt陣列：

void
ccount()

4、整體實現

#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define int long long
const
int manx=
3e5+10;
const
int max_len=
2e6+10;
char s[manx]
;int ans=0;
struct pal_tree
void
init()
intgetfail
(int x)
void
add(
int c)
last=net[cur]
[c];
cnt[last]++;
//新增3
}void
ccount()
//新增4
}}tree;
signed
main()

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